$\mathbb N$ $-$ zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od $1$
$\mathbb Z$ $-$ zbiór liczb całkowitych
$\mathbb Q$ $-$ zbiór liczb wymiernych
$\mathbb R$ $-$ zbiór liczb rzeczywistych
$\mathbb C$ $-$ zbiór liczb zespolonych
$\mathbb H$ $-$ zbiór kwaternionów
A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, części 1$-$3, PWN, Warszawa 2004$-$2005.
A. I. Kostrikin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.
A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1971.
A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
A. I. Kostrikin, J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1972.
Listy zadań na ćwiczenia są dostępne tutaj pod nagłówkiem Algebra liniowa z geometrią
Definicja 1. Podzbiór $\mathbb F$ zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ciałem liczbowym, jeśli ma przynajmniej dwa elementy i dla każdej pary liczb $a$, $b$ należących do $\mathbb F$ następujące liczby należą do $\mathbb F$: $a+b$, $a-b$, $a\cdot b$, a także $a\over b$. W przypadku dzielenia zakładamy oczywiście, że $b\neq 0$.
Innymi słowy, ciało liczbowe to zbiór liczb liczący więcej niż jeden element, w którym wykonalne są wszystkie cztery działania.
Zbiór $\mathbb N$ nie jest ciałem liczbowym na przykład dlatego, że nie jest w nim wykonalne odejmowanie. W zbiorze $\mathbb Z$ nie jest wykonalne dzielenie, więc i $\mathbb Z$ nie jest ciałem liczbowym. Natomiast $\mathbb Q$ i $\mathbb R$ są ciałami.
Przykład 1. Niech $m>0$ będzie dowolną liczbą wymierną i niech $\mathbb Q[\sqrt{m}]:=\{u+v\sqrt{m}: u, v\in \mathbb Q \}$. Ten ostatni zbiór jest ciałem. Dla przykładu wykażemy, że jest w nim wykonalne dzielenie.
Niech $a$ i $b\in \mathbb Q[\sqrt{m}]$, przy tym niech $b\neq 0$. Wtedy istnieją liczby wymierne $s$, $t$, $x$, $y$, że $a=s+t\sqrt{m}$ i $b=x+y\sqrt{m}$. Jeśli $b$ jest liczbą wymierną, to $u:=s/b$, $v:=t/b$ są wymierne oraz $a/b= u+v\sqrt{m}$. Jeśli zaś $b$ nie jest liczba wymierną, to $c:=x-y\sqrt{m}$ jest także liczbą niewymierną, więc różną od $0$. Mamy $ \displaystyle{{a\over b}= {ac\over bc}}$. Zauważmy, że $$ ac=(sx-tym)+(tx-sy)\sqrt{m}, \qquad bc=x^2-y^2m. $$ Pierwsza z liczb leży w $ \mathbb Q [\sqrt{m}]$, druga jest wymierna. Ich iloraz, jak już wiemy na podstawie wcześniej rozpatrzonego przypadku, leży także w $\mathbb Q[\sqrt{m}]$, ale ten iloraz jest równy $a/b$.
Zauważmy, że ta sama argumentacja ma zastosowanie, jeśli zamiast $\mathbb Q $ wziąć jakiekolwiek ciało liczbowe $\mathbb F$, a w charakterze $m$ wziąć dowolny element dodatni ciała $\mathbb F$. W konsekwencji, $\mathbb F [\sqrt{m}]:=\{u+v\sqrt{m}: u, v\in \mathbb F \}$ jest ciałem.
Twierdzenie 1. Jeżeli $\mathbb{F}$ jest ciałem liczbowym, to wszystkie liczby wymierne leżą w $\mathbb{F}$ $(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{F})$.
Dowód. Ponieważ $|\mathbb{F}|\geq 2$, więc istnieje niezerowy element $a\in\mathbb{F}$. Dzielenie w $\mathbb{F}$ jest wykonalne, stąd $1=\frac{a}{a}\in\mathbb{F}$. Dalej, $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{F}$, bo gdyby nie, to istniałaby taka najmniejsza liczba $n\in\mathbb{N}$, że $n\not\in\mathbb{F}$. Jasne, że $n>1$. Zauważmy teraz, że $n=(n-1)+1$ oraz że oba składniki tej sumy są liczbami naturalnymi mniejszymi niż $n$; muszą więc być elementami ciała $\mathbb F$. Ale w $\mathbb F$ wykonalne jest dodawanie, stąd $n\in\mathbb F$. I otrzymaliśmy sprzeczność.
Stąd że odejmowanie jest wykonalne w $\mathbb F$, mamy $$ 0=1-1\in\mathbb{F}\quad \textrm{i}\quad 0-n=-n\in\mathbb{F}, $$ o ile $n\in\mathbb{N}$. W konsekwencji $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{F}$. Ale jeżeli $w\in\mathbb{Q}$, to $w=\frac{p}{q}$, $p,q\in\mathbb{Z}$. Dzielenie jest w $\mathbb F$ wykonalne, więc $w\in\mathbb{F}$. $\Box$
Definicja 2. Powiemy, że $a$ jest liczbą algebraiczną stopnia $n$, jeżeli istnieje wielomian stopnia $n$ o współczynnikach wymiernych, $w(x):=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$, że $w(a)=0$ i nie ma wielomianu o współczynnikach wymiernych stopnia niższego, którego $a$ byłaby pierwiastkiem.
Zadanie 1. (trudne) Niech $a$ $-$ liczba algebraiczna stopnia $n$. Udowodnić, że zbiór $$ \mathbb{Q}[a]:=\{p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+...+p_{n-1}a^{n-1}: p_{0},...,p_{n-1} \in\mathbb{Q}\} $$ jest ciałem.
Definicja 3. Dano niepusty zbiór $X$. Dwuargumentowym działaniem, albo inaczej, operacją w $X$ nazywamy przyporządkowanie każdej parze uporządkowanej zbioru $X$ jedynego elementu tego zbioru.
Działania oznaczamy symbolami: $+$, $-$, $\cdot$, $\circ$, $\oplus$, $\otimes$ itp. Jeśli np. $\odot$ jest działaniem i $a,b\in X$, to element przyporządkowany parze uporządkowanej $(a,b)$ oznaczamy $a\odot b$ i nazywamy wynikiem działania na parze $a, b$.
Przykład 2. Przyporządkowanie $\odot$ opisane wzorem $a\odot b=(a+b)^{3}$ jest działaniem w $\mathbb{R}$.
Definicja 3+1. Działanie $\odot$ w $X$ jest łączne, jeśli dla wszelkich elementów $a,b,c\in X$ $$ (a\odot b)\odot c = a\odot (b \odot c). $$
Zauważmy, że dodawanie w $\mathbb{R}$ jest łączne, zaś odejmowanie nie.
Komentarz. Działania dwuargumentowe stosują się do par elementów, a nie do trójek bądź czwórek. Jednak jeśli działanie jest łączne, to możemy łatwo nadać sens wyrażeniu: $a\odot b\odot c\odot d$. Należy w wyrażeniu rozmieścić nawiasy wskazujące, jak należy obliczyć jego wynik; np. $(a\odot b)\odot (c\odot d)$. (Najpierw znajdujemy $a\odot b$, potem $a\odot c$ i na końcu wyznaczamy wynik działania na wynikach). Nawiasy możemy rozmieścić na więcej sposobów; np. $((a\odot b)\odot c)\odot d$, jednak można wykazać, że łączność zapewnia niezależność wyniku od uszykowania nawiasów. Dlatego też w przypadku działań łącznych nawiasy są często opuszczane.
Zadanie 1+1. Sprawdź, że dla układu czterech elementów wynik działania łącznego nie zależy od sposobu rozmieszczenia nawiasów.
Zadanie 1+2$^*$. Czy potrafiłbyś rozwiązać powyższe zadanie dla wszelkich skończonych układów elementów?
Definicja 4. Działanie $\odot$ w $X$ jest przemienne, jeśli dla każdych $a,b\in X$ $$ a\odot b=b\odot a. $$
Dodawanie w $\mathbb{R}$ jest oczywiście przemienne, zaś odejmowanie nie.
Definicja 5. Jeśli w $X$ określone są dwa działania $\oplus$, $\odot$, to $\odot$ jest rozdzielne lewostronnie względem $\oplus$, jeśli dla wszelkich $a,b,c\in X$ $$ a\odot(b\oplus c)=(a\odot b)\oplus(a\odot c), $$ $-$ prawostronnie, jeśli $$ (b\oplus c)\odot a=(b\odot a)\oplus(b\odot c). $$
Zadanie 2. W $(0,+\infty)$ rozpatrzmy dwa działania: zwykłe dodawanie $+$ i dodawanie harmoniczne $$ a\oplus b=\frac{ab}{a+b}. $$ Czy $\oplus$ jest rozdzielne wzgędem $+$ ?
Definicja 6. Element $e\in X$ nazywamy elementem neutralnym działania $\odot$ w $X$ jeśli dla każdego elementu $x\in X$ $$ e\odot x=x\odot e=x. $$ Oczywiście $0$ jest elementem neutralnym dodawania liczb, zaś 1 $-$ mnożenia. Dzielenie nie ma elementu neutralnego.
Uwaga 1. Działanie może mieć co najwyżej jeden element neutralny. Przypuśćmy, że $\odot$ ma jeszcze jeden element neutralny $f$. Wtedy $$ f=e\odot f= e. $$ (Pierwsza równość wynika stąd, że $e$ jest elementem neutralnym, a druga stąd, że także $f$ jest elementem neutralnym.)
Definicja 7. Niech $\mathbb F$ będzie zbiorem, w którym określone są dwa działania: dodawanie $+$, i mnożenie $\cdot$. Zbiór $\mathbb{F}$ wraz z tymi działaniami nazywamy ciałem, jeśli oba działania $+, \cdot$ mają elementy neutralne, nazywane tradycyjnie $0$ i $1$, że $0\neq 1$ oraz dla wszelkich $x,y,z\in\mathbb{F}$ zachodzą związki:
$x+y=y+x$, (przemienność dodawania)
$x+(y+z)=(x+y)+z$, (łączność dodawania)
istnieje element $t \in \mathbb F$, że $x+t=0$, (istnienie elementu przeciwnego)
$x\cdot y=y\cdot x$, (przemienność mnożenia)
$x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$, (łączność mnożenia)
jeśli $x\neq 0$, to istnieje $u \in \mathbb F$, że $\quad x\cdot u=1$, (istnienie elementu odwrotnego)
$x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$. (rozdzielność mnożenia względem dodawania)
Zależności 1 $-$ 7 nazywamy aksjomatami ciała.
Uwaga 2. Podobnie jak w przypadku liczb, symbol mnożenia '$\cdot$' często opuszczamy i zamiast np. $x\cdot y$ piszemy też $xy$.
Uwaga 3. Tak elementy przeciwny jak i odwrotny są jedyne. Sprawdźmy na przykład jedyność elementu odwrotnego:
Załóżmy, że $u$ i $v$ są elementami odwrotnymi do $x$. Wtedy $$ v=v\cdot 1 = v\cdot (xu) \stackrel{(5)}{=}(vx)\cdot u \stackrel{(4)}{=}(xv)\cdot u = 1\cdot u = u. $$ Jedyny element przeciwny do $x$ oznaczamy $-x$. Jedyny element odwrotny do $x$ oznaczamy $\frac{1}{x}$, $x^{-1}$. Zamiast pisać $y+(-x)$ piszemy $y-x$ i tak określone działanie $-$ nazywamy odejmowaniem. Zamiast pisać $y\cdot\frac{1}{x}$ piszemy $\frac{y}{x}$, względnie $y/x$ i tak określone działanie $/$ nazywamy dzieleniem. Używamy więc tych samych terminów, co w szkolnej arytmetyce.
Funkcja $f$ argumentu rzeczywistego o wartościach rzeczywistych nosi nazwę funkcji wymiernej, jeżeli istnieje para wielomianów $p=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$, $q=b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}$, przy czym wielomian $q$ jest niezerowy, że $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, dla każdej takiej liczby $x$, że $q(x)\neq 0$. W takiej sytuacji piszemy $f=\frac{p}{q}$.
Niech $\mathbb{R}(x)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji wymiernych. Wtedy zwykłe dodawanie i mnożenie funkcji są działaniami w $\mathbb{R}(x)$:
Jeżeli $f=\frac{p}{q}$, $g=\frac{r}{s}\in\mathbb{R}(x)$ i $p,q,r,s$ $-$ wielomiany, to $$ f+g=\frac{ps+qr}{qs}. $$ Jednak $ps+qr$ oraz $qs$ są wielomianami, więc $f+g$ jest funkcją wymierną. Podobnie, $$ f\cdot g=\frac{pr}{qs}. $$ jest funkcją wymierną. Nietrudno spostrzec, że $\mathbb{R}(x)$ z działaniami $+$, $\cdot$ jest ciałem. Elementem neutralnym dodawania jest funcja stała równa 0, zaś mnożenia $-$ funkcja stała równa 1. Elementem odwrotnym do $f=\frac{p}{q}$ jest $f^{-1}=\frac{q}{p}$.
Ciało funkcji wymiernych przypomina ciała liczbowe pod tym względem, że w $\mathbb{R}(x)$ możemy określić porządek; tzn. powiedzieć, które funkcje wymierne są dodatnie a które ujemne; ocenić, która z pary funkcji jest większa. Niech $f=\frac{p}{q}$ oznacza niezerową funkcję wymierną. Ponieważ $p$ i $q$ są wielomianami, więc każdy ma skończoną liczbę pierwiastków. Stąd począwszy od pewnej liczby $s$, wszystkie liczby $p(x)$, dla $x>s$, mają ten sam znak, a także liczby $q(x)$, dla $x>s$, mają ten sam znak. W konsekwencji, wszystkie liczby $f(x)$, dla $x>s$, mają ten sam znak. Jeśli ten znak jest dodatni, to $f$ nazywamy funkcją dodatnią i piszemy $f>0$, jeśli ujemny,to $f$ jest funkcją ujemną i piszemy $f<0$. Oczywiście, możemy też określić nierówności nieostre; np. $f\ge 0$ jeśli $f>0$ bądź też $f=0$ ($f$ jest funkcją stałą równą $0$).
Jeśli teraz $f$ i $g$ są funkcjami wymiernymi, to powiemy, że $f$ jest większa niż $g$, a zapiszemy $f>g$ bądź $g<f$, jeśli $f-g>0$. (Oczywiście w takiej sytuacji możemy też powiedzieć, że $g$ jest mniejsza ni z $f$.) Napis $g\le f$ oznacza, że $f-g\ge 0$.
Zadanie 3.
Czy funkcja $-x^3$ jest dodatnia czy ujemna, w rozumieniu przyjętej przez nas definicji?
Czy funkcja $\displaystyle{\frac{-x^3+ 1000000x^2-1}{x^2-1}}$ jest dodatnia czy ujemna?
Która z tych dwu funkcji jest większa?
Zadanie 4. Uzasadnić, że jeśli $f,g,h$ są funkcjami wymiernymi oraz $f>0$ i $g<h$, to $fg<fh$.
Definicja 8. Jeśli dwie liczby całkowite $x$, $y$ różnią się o krotność liczby $n\in\mathbb{N}$, to piszemy $x\equiv y \pmod n$ i czytamy $x$ przystaje do $y$ modulo $n$.
Obserwacja. Dwie liczby naturalne $u$, $v$ przystają modulo $n$ wtedy i tylko wtedy, gdy dają tę samą resztą z dzielenia przez $n$.
Zadanie 5. Niech $x\equiv y \pmod n$, $u\equiv v \pmod n$. Wtedy $$ x+u\equiv y+v \pmod n, \tag{$\diamond$} $$ $$ x\cdot u\equiv y\cdot v \pmod n \tag{$\ast$}. $$
Uzasadnienie wzoru $(\ast)$. Powiedzieć, że $x$ i $y$ różnią się o krotność $n$ znaczy tyle, co stwierdzić, że istnieje liczba całkowita $k$, iż $x-y=kn$. Podobnie musi istnieć całkowita $l$, że $u-v=ln$. W takim razie $$ xu-yv= xu-yu+yu-yv=u(x-y)+y(u-v)= ukn+yln=(uk+yl)n, $$ co oznacza, że liczby $xu$, $yv$ różnią się o krotność $n$, więc jedna przystaje do drugiej modulo $n$.
Niech $n$ oznacza liczbę całkowitą większą niż $1$ . Niech $\mathbb{Z}_{n}=\{0,1,...,n-1\}$. Innymi słowy, $\mathbb Z_n$ jest zbiorem wszystkich reszt z dzielenia liczb naturalych przez $n$. Określmy dodawanie $\oplus$ w $\mathbb{Z}_{n}$ wzorem $$ a\oplus b= \text{reszta z dzielenia $a+b$ przez $n$,} $$ oraz mnożenie $\odot$ $-$ wzorem $$ a\odot b= \text{reszta z dzielenia $a\cdot b$ przez $n$.} $$ Oba działania są dobrze określone w $\mathbb{Z}_{n}$. Element $0$ jest elementem neutralnym dodawania, zaś $1$ $-$ mnożenia.
Przykład Niech $n=16$. Wtedy $7$, $9$ należą do $\mathbb Z_{16}$ oraz $7+9=16$, więc $7\oplus 9=0$, bo reszta z dzielenia $16$ przez $16$ to właśnie $0$. Natomiast $7\cdot 9=63= 3\cdot 16 +15$. Stąd $7\odot 9=15$. Rachunek można przeprowadzić w Pythonie:
63//16, 63%16
Zauważmy jeszcze, że element $2$ nie ma elementu odwrotnego w $\mathbb Z_{16}$, bo gdyby jakiś element $u\in \mathbb Z_{16}$ był odwrotnym do $2$, to $2u$ można by zapisać w postaci $2u=d\cdot 16 +1$, gdzie $d$ wynik dzielenia z resztą $2u$ przez $16$. Wtedy $1=2u-d\cdot 16$ i liczba po prawej stronie jest parzysta, a po lewej $-$ nieparzysta, co nie jest możliwe. W Pythonie można dokonać sprawdzenia "na piechotę":
[(2*u)%16 for u in range(16)]
Twierdzenie 2. $\mathbb{Z}_{n}$ z działaniami $\oplus$, $\odot$ spełnia wszystkie aksjomaty ciała za wyjątkiem aksjomatu 6, zapewniającego istnienie elementu odwrotnego.
Dowód. Działania $\oplus$ i $\odot$ są oczywiście przemienne, bo przemienne jest zwykłe dodawanie i mnożenie. Pozostaje więc sprawdzić, czy w $\mathbb Z_n$ spełnione są aksjomaty 2, 3, 5 i 7.
By sprawdzić aksjomat 2, wykorzystamy własności przystawania. Niech $x,y,z\in \mathbb Z_n$. Na podstawie definicji $\oplus$ i definicji przystawania modulo $n$ mamy: $$ x+y\equiv x\oplus y \pmod n $$ Stąd w oparciu o wzór $(\diamond)$ z zadania 5 wnosimy, że $$ (x+y)+z\equiv (x\oplus y)+z \pmod n $$ Korzystając powtórnie z definicji $\oplus$ i przystawania, $$ (x\oplus y)+z\equiv (x\oplus y)\oplus z \pmod n $$ Z dwu ostatnich wzorów wnioskujemy, że $$ (x+y)+z\equiv (x\oplus y)\oplus z \pmod n $$ W taki sam sposób dowodzimy, że $$ x+(y+z)\equiv x\oplus (y\oplus z) \pmod n $$ Ponieważ zwykła dodawanie jest łączne, więc lewe strony w dwu ostatnich wzorach są równe. Stąd prawe strony muszą przystawać:
$$ (x\oplus y)\oplus z \equiv x\oplus (y\oplus z) \pmod n $$Obie strony przystawania są resztami, to znaczy, elementami $\mathbb Z_n$. Jeśli jednak dwa elementy $\mathbb Z_n$ przystają modulo $n$, to są równe. Stąd
$$ (x\oplus y)\oplus z =x\oplus (y\oplus z) $$i działanie $\oplus$ jest rzeczywiście łączne. W podobny sposób prowadzimy dowód łączności mnożenia (aksjomat 7).
Co się tyczy istnienia elementu przeciwnego (aksjomat 3), to jeśli $x\neq 0$ należy do $\mathbb Z_n$, to $n-x$ także należy do $\mathbb Z_n$. Ponieważ suma tych elementów dzieli się przez $n$, bo jest właśnie równa $n$, więc, w zgodzie z definicją $\oplus$, to $n-x$ jest przeciwny do $x$. Jeśli $x=0$, to $x$ jest przeciwny do siebie samego.
Sprawdzenie aksjomatu 7 pozostawiamy na ćwiczenia. Dowód przebiega podobnie, jak w przypadku łączności $\Box$
Zadanie 5. Sprawdzić, że w $\mathbb Z_n$ zachodzi rozdzielność mnożenia $\odot$ względem dodawania $\oplus$
Uwaga. W dowodzie łączności dodawania $\oplus$ skorzystaliśmy domyślnie z następującego twierdzenia:
> Dla wszelkich liczb całkowitych $x,y,z$, jeśli $x\equiv y \pmod n$ i $y\equiv z \pmod n$, to $x\equiv z \pmod n$.
Zadanie 6. Wykazać powyższe twierdzenie.
Wszystkie ciała liczbowe mają nieskończenie wiele elementów, na przykład dlatego, że zawierają zbiór naturalnych, który jest oczywiście nieskończony. Ciało funkcji wymiernych jest także nieskończone. Jednak istnieją także ciała skończone:
Twierdzenie 3. Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to $\mathbb Z_p$ jest ciałem.
Dowód. Powołując się na twierdzenie 2, pozostaje sprawdzić, że każdy niezerowy element $x \in \mathbb Z_p$ ma element odwrotny. Utwórzmy ciąg $x\cdot 1, x\cdot 2,\ldots, x\cdot (p-1)$. Twierdzimy, że żadne dwa elementy tego ciągu nie mogą przystawać modulo $p$. W przeciwnym razie istniałyby $k, l$, że $1\le k < l\le p-1$ oraz $x\cdot k\equiv x\cdot l \pmod p$. Wtedy $x(l-k)$ dzieli się przez $p$, a ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, to $p$ dzieli $x$ bądź $l-k$, jednak żadna z tych możliwości nie może mieć miejsca, bo liczby te są naturalne i mniejsze niż $p$. Skoro żadne dwa elementy naszego ciągu nie są przystające, to elementy ciągu $x\odot 1, x\odot 2, \ldots, x\odot (p-1)$ są różne miedzy sobą. Żaden z nich nie jest zerowy, bo żadna z liczb wyjściowego ciągu nie dzieli się przez $p$. W konsekwencji w ciągu tym stoją wszystkie elementy niezerowe zbioru $\mathbb Z_p$ a w szczególności na którymś miejscu stoi $1$, to znaczy $1=x\odot u$, dla pewnego niezerowego elementu $u\in \mathbb Z_p$. $\square$
Dowód możemy zilustrować dla małych liczb pierwszych $p$ tworząc tabelkę mnożenia. Poniżej mamy tabelkę dla $p=5$
for i in range(1, 5):
print([(i*j)%5 for j in range(1,5)])
| $\odot$ | 1 | 2 | 3 | 4 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | |||
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 | |||
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 | |||
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Uwaga terminologiczna. Ciało $\mathbb Z_p$ jest często oznaczane przez $\mathbb F_p$.