Definicja 1. Niech $V, W$ $-$ przestrzenie liniowe nad ciałem $\mathbb K$. Odwozorowanie $T\colon V\to W$ nazywamy liniowym, jeśli dla wszelkich $\alpha, \beta \in \mathbb K$ oraz wszelkich $x, y\in V$
$$ T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) . \tag{L} $$Ćwiczenie 1. Warunek (L) można zastąpić dwoma: Dla wszelkich $\alpha\in \mathbb K$ oraz wszelkich $x,y \in V$
$$ T(x+y)=T(x)+T(y), \tag{L1} $$$$ T(\alpha x)=\alpha T(x). \tag{L2} $$Przykłady.
$R$ jest liniowe.
Odwzorowanie $T\colon \mathbb K\to \mathbb K$ jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ ma postać $T(x)=\alpha x$, dla pewnego $\alpha \in K$. (Porównaj ze szkolną definicją funkcji liniowej.)
Niech $a,b,c,d\in \mathbb K$ oznaczają dowolne skalary . Odwzorowanie $S\colon \mathbb K^2\to \mathbb K^2$ dane wzorem
jest liniowe.
Zadanie 1. Wykazać, że każde odwzorowanie liniowe z $\mathbb R^2$ w $\mathbb R^2$ musi być postaci opisanej w przykładzie 2.
Zadanie 2. Wykazać, że jeśli $T\colon V\to W$ jest liniowe, to $T(\mathbf 0)= \mathbf 0$.
Twierdzenie 1. Jeśli $T, S\colon V\to W$ są odwzorowaniami liniowymi oraz $\alpha\in \mathbb K$, to odwzorowania:
są liniowymi odwzorowaniami z $V$ do $W$.
Zadanie 3. Zbiór odwzorowań liniowych z $V$ do $W$ oznaczamy $L(V, W)$ bądź $\operatorname{Hom}(V,W)$. Sprawdzić, że zbiór ten wraz z działaniami określonymi w twierdzeniu 1 jest przestrzenią liniową.
Zadanie 4. Udowodnić, że $\dim (L(V, W))=\dim V\cdot \dim W$.
Definicja 2. Powiemy, że przestrzeń $V$ jest izomorficzna z $W$ i zapiszemy $V\cong W$ jeśli istnieje bijekcja $F\in L(V,W)$. Bijekcję $F$ nazywamy izomorfizmem przestrzeni $V$ na $W$.
Uwaga. Odwzorowanie odwrotne $F^{-1}$ jest oczywiście bijekcją, ale także odwzorowaniem liniowym z $W$ do $V$. W takim razie $V\cong W$ pociąga $W\cong V$.
Liniowość odwzorowania $F^{-1}$:
Niech $u, v\in W$. Ponieważ $F$ $-$ bijekcją, istnieją jedyne wektory $x, y\in V$, że $F(x)=u, F(y)=v$. Mamy
$$ F^{-1}(u+v)=F^{-1}(F(x)+F(y))=F^{-1}(F(x+y))=x+y=F^{-1}(u)+F^{-1}(v). $$Niech $\alpha\in \mathbb K$. Wtedy
$$ F^{-1}(\alpha u)=F^{-1}(\alpha F(x))=F^{-1}(F(\alpha x))= \alpha x= \alpha F^{-1}(u) $$W rezultacie $F^{-1}$ spełnia warunki (L1, L2), jest więc odwzorowaniem liniowym.
Twierdzenie 2. Jeśli $V$ $-$ przestrzeń liniowa na $\mathbb K$ i $\dim V =n$, to $V\cong \mathbb K^n$.
Dowód. Niech $f^1,\ldots, f^n$ $-$ baza przestrzeni $V$. Rozwińmy $x\in V$ względem tej bazy: $$ x=\beta_1f^1+\cdots +\beta_n f^n. $$ Stąd, że rozwinięcie jest jedyne, możemy określić odwzorowanie $F\colon V\to \mathbb K^n$ wzorem:
$$ F(x)=(\beta_1, \ldots, \beta_n) $$$F$ jest oczywiście bijekcją i pozostaje sprawdzić, jego liniowość.
Niech dodatkowo $y\in V$. Niech $y=\gamma_1f^1+\cdots +\gamma_n f^n$ będzie rozwinięciem $y$ względem bazy $f^1, \ldots, f^n$. Wtedy rozwinięcie $x+y$ przedstawia się następująco: $$ x+y=(\beta_1+\gamma_1)f^1+\cdots +(\beta_n+\gamma_n)f^n. $$ Na podstawie definicji $F$ mamy
$$ F(x+y)=(\beta_1+\gamma_1,\ldots, \beta_n+\gamma_n)=(\beta_1,\ldots, \beta_n)+(\gamma_1,\ldots, \gamma_n)=F(x)+F(y). $$Niech teraz $\alpha\in \mathbb K$. Oczywiście $\alpha x=\alpha\beta_1 f^1+\cdots+\alpha\beta_nf^n$. Stąd
$$ F(\alpha x)= (\alpha\beta_1,\ldots,\alpha\beta_n)=\alpha(\beta_1,\ldots,\beta_n)=\alpha F(x). $$W takim razie $F$ spełnia warunki (L1, L2) jest więc odwzorowaniem liniowym. $\square$
Definicja 3. Niech $\mathbb B=(f^1,\ldots, f^n)$ oznacza bazę uporządkowaną przestrzeni liniowej $V$. Wektor $x_{\mathbb B}=(\beta_1, \ldots, \beta_n)\in\mathbb K^n$, nazywamy wektorem współrzędnych, albo współrzędnymi wektora $x$ względem bazy uporządkowanej $\mathbb B$, jeśli $x=\beta_1f^1+\cdots+ \beta_nf^n$. Powiemy też, że $(\beta_1, \ldots, \beta_n)$ to współrzędne wektora $x$ w układzie współrzędnych wyznaczonym przez bazę uporządkowaną $\mathbb B$.
Komentarz. Opisane w dowodzie twierdzenia 2 odwzorowanie liniowe $F$ przyporządkowuje wektorowi $x$ jego wektor współrzędnych $F(x)$ względem bazy uporządkowanej $\mathbb B$.
Wniosek 3. $P_n(\mathbb R)\cong \mathbb R^{n+1}$.
Twierdzenie 4. Niech $V,W, Z$ $-$ przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem $\mathbb K$. Jeśli $T\in L(V,W)$ i $S\in L(W,Z)$, to $S\circ T\in L(V,Z)$.
Uwaga terminologiczna. Zamiast $S\circ T$ bedziemy zgodnie z tradycją pisali $ST$.
Dowód. $$ ST(\alpha x+\beta y)=S(T(\alpha x+\beta y))= S(\alpha T(x)+\beta T(y))=\alpha S(T(x))+\beta S(T(y))=\alpha ST(x)+\beta ST(y). $$ $\square$
Twierdzenie 5. Niech $V, W$ $-$ przestrzenie liniowe skończonego wymiaru nad $\mathbb K$.
Dowód. $(\Rightarrow)$ Niech $n=\dim V$. Z twierdzenia 2, istnieją izomorfizmy liniowe $F\in L(V, \mathbb K^n)$, $G\in L(W, \mathbb K^n)$. Jak wiemy, $G^{-1}$ jest izomorfizmem liniowym z $\mathbb K^n$ na $W$. Ponieważ $F$ i $G^{-1}$ są bijekcjami, więc $G^{-1}F$ jest także bijekcją. Nadto z twierdzenia 4 wynika, że $G^{-1}F\in L(V, W)$.
$(\Leftarrow)$ Niech $H\in L(V,W)$ $-$ izomorfizm. Niech $y\in W$. Wtedy, istnieje $x\in V$, że $y=H(x)$. Niech $f^1, \ldots, f^n$ $-$ baza przestrzeni $V$. Wtedy $x$ ma rozwinięcie $x=\beta_1 f^1+\ldots + \beta_n f^n$ względem tej bazy. Niech $g^1=H(f^1),\ldots, g^n=H(f^n)$. Mamy
$$ y=H(x)=\beta_1 H(f^1)+\cdots +\beta_n H(f^n)=\beta_1g^1+\cdots +\beta_ng^n. $$Stąd, wobec dowolności $y$, $\operatorname{lin}\{g^1, \ldots, g^n\}=W$.
Przypuśćmy, że
$$ \alpha_1g^1+\cdots +\alpha_n g^n= \mathbf 0 $$Wobec definicji układu $g^1, \ldots, g^n$,
$$ \mathbf 0= \alpha_1 H(f^1)+\cdots +\alpha_n H(f^n)= H(\alpha_1 f^1+\cdots +\alpha_n f^n). $$Ponieważ $H$ jest różnowartościowe i $H(\mathbf 0)=\mathbf 0$, więc $\alpha_1 f^1+\cdots +\alpha_n f^n=\mathbf 0$. Jednak układ $f^1, \ldots, f^n$ jest bazą, więc w szczególności jest układem liniowo niezależnym. Stąd wszystkie współczynniki $\alpha_i$, $i=1,\ldots, n$, są zerami. Wykazaliśmy, że układ $g^1,\ldots, g^n$ rozpina przestrzeń $W$ i jest liniowo niezależny, więc wobec twierdzenia 4 z wykładu 4 wynika, że jest on bazą. Stąd $\dim V=\dim W$.
$\square$
Definicja 4. Jeśli odwzorowanie $F\in L(V,V)$ jest izomorfizmem, to nazywamy je automorfizmem przestrzeni $V$.
Zbiór automorfizmów przestrzeni $V$ oznaczamy $\operatorname{Aut} (V)$
Zadanie 5. Wykazać, że
zbiór $\operatorname{Aut}(V)$ jest grupą z działaniem składania odwzorowań;
grupa $\operatorname{Aut}(\mathbb R^2)$ nie jest przemienna.
Twierdzenie 6. Niech $f^1,\ldots, f^n$ $-$ baza przestrzeni $V$. Niech $W$ $-$ przestrzeń liniowa nad tym samym ciałem co $V$.
Jeśli $T\in L(V, W)$, to wartości $g^1=T(f^1), \ldots, g^n=T(f^n)$ w pełni określają odzwzorowania $T$.
Jeśli $g^1, \ldots, g^n$ dowolny układ $n$ wektorów w przestrzeni $W$, to istnieje jedyne odwzorowanie liniowe $T$, że $g^1=T(f^1), \ldots, g^n=T(f^n)$.
Dowód. ad 1. Weźmy dowolny $x\in V$ i rozwińmy go względem bazy $f^1, \ldots, f^n$: $x=\beta_1 f^1+\cdots + \beta_n f^n$. Z liniowości $T$ otrzymamy
$$ T(x)= \beta_1 T(f^1)+\cdots + \beta_n T(f^n)=\beta_1 g^1+\ldots + \beta_n g^n $$ad 2. Z drugiej strony, wzór $$ T(x)=\beta_1 g^1+\cdots + \beta_n g^n $$ określa (jedyne) odwzorowanie liniowe o własności $g^i=T(f^i),\,\, i=1,\ldots, n$. $\square$
Uwaga. Dzięki twierdzeniu 6 możemy łatwo sporządzić tabelkę odwozorowania liniowego $T\in L(V,W)$. Wystarczy w arumentach podać wektory jakiejkowiek bazy przestrzeni $V$ i odpowiadające im wartości w wartościach.
Zadanie 6. Jednomiany $1, x, x^2$ stanowią bazę przestrzeni $P_2(\mathbb R)$. Zadajmy odwzorowanie $T\in L(P_2(\mathbb R), P_2(\mathbb R))$ na tej bazie:
\begin{eqnarray} T(1) & = & 1 \\ T(x) & = & x \\ T(x^2) & = & (x+1)^2. \end{eqnarray}Obliczyć $T((x+3)^2).$
Rozwiązanie.
$$ T((x+3)^2)=T(9+6x+x^2)= 9T(1)+6T(x)+T(x^2)=9+6x+(x+1)^2=10+8x+x^2. $$Definicja 5. Tablicę $A$ o $m$ wierszach i $n$ kolumnach, wypełnioną skalarami należącymi do ciała $\mathbb K$ nazywamy macierzą prostokatną rozmiaru $m\times n$ nad $\mathbb K$. Skalar $a_{ij}$ stojący w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie tej macierzy nazywamy $(i,j)$-tym wyrazem albo elementem macierzy $A$.
Uwaga. Zamiast nawiasów kwadratowych piszemy często okrągłe. Na wykładzie stosujemy następującą umowę:
Macierz o rozmiarze $n\times m$ powstałą z $A$ przez uszykowanie pierwszej kolumny w pierwszy wiersz, drugiej w drugi itd., zapisaną w nawiasach okragłych będziemy uważali za tożsamą z $A$; np.
$$ \left[\begin{array}{rr} 1 & 2\\ -1 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right] = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right). $$Jeśli jednak zapiszemy ją w nawiasach kwadratowych, to będziemy nazywać ją macierzą transponowaną albo transpozycją macierzy $A$ i oznaczać $A^{\sf T}$. W zgodzie z naszym przykładem,
$$ \left[\begin{array}{rr} 1 & 2\\ -1 & 0\\ 2 & 1\end{array}\right]^{\mathsf T} = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]. $$$$ x=\left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]. $$W szczególności, elementy $x=(x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb K^n$ możemy zapisywać w formie wektorów kolumnowych:
Przez ${\mathsf M}_{m\times n}(\mathbb K)$ oznaczamy zbiór wszystkich macierzy rozmiaru $m\times n$ o wyrazach należących do ciała $\mathbb K$. W $\mathsf{M}_{m\times n}(\mathbb K)$ określamy operacje dodawania:
$$ A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}] $$oraz mnożenia przez skalary (elementy ciała $\mathbb K$):
$$ \alpha A=\alpha [a_{ij}]=[\alpha a_{ij}]. $$Nietrudno zauważyć, że $\mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$ jest z tymi działaniami przestrzenią liniową. Przestrzeń ta jest izomorficzna z $\mathbb K^{nm}$. Izomorfizm $S$ można określić np. tak, że macierzy $A$ przypisujemy wiersz, powstały przez przepisanie kolejnych jej wierszy jeden za drugim: $$ S(A)=(a_{11},\ldots, a_{1n}, a_{21},\ldots, a_{2n},\ldots\ldots, a_{m1},\ldots, a_{mn}). $$
Stąd możemy łatwo wysnuć wniosek, że $\dim \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)=mn$. Ponadto możemy też zauważyć, że zbiór macierzy $E_i^j\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$, które na miejscu $(i,j)$ mają wyraz równy $1$, a na pozostałych $0$ jest bazą przestrzeni $\mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$. Tę bazę także nazywamy standardową.
Załóżmy, że $T\in L(\mathbb K^n, \mathbb K^m)$. Zapiszmy elementy $\mathbb K^n$ jak i $\mathbb K^m$ w postaci wektorów kolumnowych. Zauważmy, że
$$ T(x)=T(x_1e^1+\cdots + x_ne^n)=x_1T(e^1)+\cdots + x_nT(e^n). $$Utwórzmy macierz $A_T$, której pierwszą kolumnę stanowi $T(e^1)$, drugą $T(e^2)$ itd.; to znaczy, $A_T = [T(e^1) \ldots T(e^n)]$. (Nawiasy w wektorach $T(e^i)$ należy opuścić). W zgodzie z twierdzeniem 6, macierz $A$ w pełni określa odwzorowanie $T$. I odwrotnie, każda macierz $A\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$ określa odwzorowanie liniowe $T_A\in L(K^n, K^m)$ wzorem
$$ T_A(x)=x_1A^1+\cdots +x_n A^n, $$gdzie $A^i$, $i=1,\ldots, n$, to kolumny macierzy $A$.
Stąd zachodzi następujące twierdzenie
Twierdzenie 7. $L(\mathbb K^n, \mathbb K^m)\cong \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$. Izomorfizmem jest przyporządkowanie $T\mapsto A_T$. Odwzorowaniem odwrotnym jest przyporządkowanie $A\mapsto T_A$.
Tu skończyłem 30 listopada
Dla pary wektorów wierszowego $y=[y_1,\ldots,y_n]\in \mathsf M_{1\times n}(\mathbb K)$ i kolumnowego $x=(x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb K^n$ określmy ich iloczyn:
$$ yx=[y_1, \ldots, y_n]\left[\begin{array}{c} x_1\\\vdots \\x_n\end{array}\right]=y_1x_1+\cdots + y_nx_n. $$Ustalmy macierz $A\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$. Niech $A_1, \ldots, A_m$ oznaczają jej wiersze. Spróbujmy wyrazić $T_A(x)$ za pomocą wprowadzonego właśnie mnożenia:
$$ (T_A(x))_i=(x_1A^1+\cdots +x_n A^n)_i=x_1 (A^1)_i+\cdots +x^n(A^n)_i=a_{i1}x_1+\cdots +a_{in}x_n=A_ix $$Określmy teraz mnożenie macierzy $A$ przez $x$ wzorem:
$$ Ax=\left[\begin{array}{c} A_1x\\ \vdots \\A_nx\end{array} \right] \tag{raz1} $$Wtedy rzecz jasna $Ax= T_A(x)$.
Zadanie 7. Znaleźć macierz odwzorowania liniowego $T\colon \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ określonego wzorem
$$ T(x)=T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2-x_3, x_1+2x_2, x_1-x_3). $$Rozwiązanie.
$$ T(e^1)=T(1,0,0)=(1,1,1)=\left[\begin{array}{c} 1\\1\\1\end{array}\right], $$$$ T(e^2)=T(0,1,0)=(-1,2,0)=\left[\begin{array}{r} -1\\2\\0\end{array}\right], $$$$ T(e^3)=T(0,0,1)=(-1,0,-1)=\left[\begin{array}{r} -1\\0\\-1\end{array}\right]. $$Stąd
$$ A=A_T=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1\\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] $$Sprawdzenie:
$$ Ax=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1\\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x_1-x_2-x_3\\x_1+2x_2\\x_1-x_3\end{array}\right]=T(x) $$Niech teraz $T\in L(\mathbb K^n, \mathbb K^m)$ zaś $S\in L(\mathbb K^m, \mathbb K^r)$. Na podstawie twierdzenia 4 złożenie $ST$ należy do $L(\mathbb K^n, \mathbb K^r)$. Naszym celem będzie wyznaczenie macierzy $C=A_{ST}=[c_{ij}]$ w oparciu o $A=A_S=[a_{ik}]$ i $B=A_T=[b_{kj}]$. W oparciu o (raz1)
Rachunek ten uzasadnia wprowadzenie następującej definicji:
Definicja 6. Jeśli $A=[a_{ik}]\in \mathsf M_{r\times m}(\mathbb K)$ i $B=[b_{kj}]\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$, to ich iloczyn $AB=[c_{ij}]\in \mathsf M_{r\times n}(\mathbb K)$ określamy wzorem (raz2)
Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc także mnożenie macierzy jest łączne:
Stwierdzenie 8. Jeśli $A\in \mathsf M_{r\times m}(\mathbb K)$, $B\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$ i $C\in \mathsf M_{n\times p}(\mathbb K)$, to $$ A(BC)=(AB)C \in \mathsf M_{r\times p}(\mathbb K). $$
Zadanie 8. Sprawdzić bezpośrednio łączność mnożenia jeśli
$$ A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 0 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]. $$Zadanie domowe. Wymyślić samodzielnie stosowny przykład i powtórzyć zadanie 8 dla macierzy o rozmiarach $2\times 3$, $3\times 2$, $2\times 3$.
Twierdzenie 9.
Dowód. ad 1: Wykorzystując liniowość odwzorowań, dla wszelkich $x\in V$
$$ T(\alpha R+\beta S)(x)=T(\alpha R(x)+\beta S(x))=\alpha T(R(x))+\beta T(S(x))=(\alpha TR+\beta TS)(x) $$Stąd odwzorowania $T(\alpha R+\beta S)$ oraz $\alpha TR+\beta TS$ są sobie równe.
Drugą część dowodzi się podobnie $\square$
Ze względu na wzajemną odpowiedniość między macierzami i odwzorowaniami liniowymi ($T \leftrightarrow A_T$) i ustalonymi wcześniej algebraicznymi własnościami tej odpowiedniości mamy
Twierdzenie 10.
Jeśli $A, B \in \mathsf M_{r\times m}(\mathbb K)$, $B, C\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$ oraz $\alpha, \beta \in \mathbb K$, to $$ (\alpha A+\beta B)C= \alpha AC+\beta BC. $$
Jeśli $A \in \mathsf M_{r\times m}(\mathbb K)$, $B, C\in \mathsf M_{m\times n}(\mathbb K)$ oraz $\beta, \gamma \in \mathbb K$, to $$ A(\beta B+\gamma C)= \beta AB+\gamma AC. $$
Definicja 7. Elementy przestrzeni liniowej $L(V):=L(V,V)$ nazywamy endomorfizmami przestrzeni $V$. Zamiast $L(V)$ używamy także oznaczenia $\operatorname{End}(V)$.
Ten dział należy przeczytać samodzielnie.
Definicja 8. Przestrzeń liniową $M$ nad ciałem $\mathbb K$ nazywamy algebrą nad $\mathbb K$, jeśli w $M$ określone jest dodatkowo działanie mnożenia $x, y\mapsto xy$, spełniające następujące warunki:
Dla wszelkich $x,y,z \in M$ i wszelkich $\alpha, \beta \in \mathbb K$
$x(\alpha y+\beta z)=\alpha(xy)+\beta(xz)$;
$(\alpha y+\beta z)x = \alpha(yx)+\beta(zx)$;
$x(\alpha y)=(\alpha x)y=\alpha (xy)$.
$M$ jest algebrą z jednością, jesli istnieje element $e\in M$, że dla wszelkich $x\in M$
$$ x=ex=xe. $$Algebra $M$ jest przemienna, jeśli dla wszelkich $x,y\in M$ $$ xy=yx. $$
Przykłady.
Komentarz. Algebry z przykładu 1 i 2 nie są istotnie różne, np. $\operatorname{End}(\mathbb K^n)$ i ${\sf M}_{n\times n}(\mathbb K)$ są izomorficzne. Izomorfizmem jest odwzorowanie $T\mapsto A_T$. Na ogół, algebry te są nieprzemienne.