Celem naszym będzie podsumowanie zeszłorocznego kursu z algebry i przypomnienie niezbędnych pojęć.
Niech $V$ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad ciałem $\mathbb R$. Funkcję $V\times V\ni (x, y) \mapsto \langle x, y \rangle$ nazywamy iloczynem skalarnym jeśli dla wszelkich $x,y$ spełnione są warunki:
Dla iloczynu skalarnego zachodzi nierówność Schwarza: $$ |\langle x, y \rangle|\le \sqrt{\langle x, x \rangle\langle y, y \rangle}. $$
Równość ma miejsce jedynie wówczas, gdy $x$ i $y$ są współliniowe.
Wielkość $|x|=\sqrt{\langle x, x \rangle}$ nazywamy długością albo normą euklidesową wektora $x$.
$|\alpha x| =|\alpha| |x|$, dla wszelkich $\alpha \in \mathbb R$, $x\in V$;
$|x + y|\le |x|+|y|$ (nierówność trójkąta).
Inna forma nierówności trójkąta:
Przestrzeń $V$, w której określono iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią euklidesową.
Metryką w dowolnym niepustym zbiorze $X$ nazywamy każdą funkcję $d: X\times X\to [0,\infty)$ spełniająca warunki:
Wielkość $d(x,y)$ nazywamy odległością między $x$ i $y$.
Zbiór $X$ z zadaną metryką nazywamy przestrzenią metryczną.
Izometrią przestrzeni $X$ z metryką $d$ nazywamy każdą bijekcję $S\colon X\to X$ zachowującą odległość: $$ d(S(x), S(y))=d(x,y) $$ dla wszelkich $x$, $y\in X$
Niech $\operatorname{Izo}(X)$ oznacza zbiór wszystkich izometrii przestrzeni metrycznej $X$. Wykazać, że zbiór ten wraz z działaniem składania tworzy grupę. Wskazać na przykładach, że grupa ta na ogół nie jest przemienna. Opisać $\operatorname{Izo}(C)$, gdzie $C$ jest sześcianem. Ile elementów liczy grupa izometrii dwunastościanu foremnego. $\blacklozenge$
Norma określa metrykę w $V$ nazywaną euklidesową wzorem $d(x,y)=|x-y|$. Fakt, że $d$ jest metryką wynika wprost z własności normy. Metryka ta ma dwie dodatkowe własności:
Pierwsza z jednorodności koduje twierdzenie Talesa. Druga głosi, że każde przesunięcie $T_z\colon V\to V$ (określone wzorem $x \mapsto T_z(x)=x+z$) jest izometrią przestrzeni $V$.
Jeśli $x, y \in V\setminus \{0\}$, to nierówność Schwarza możemy przepisać tak: $$ -1\le \frac{\langle x, y \rangle}{|x||y|}\le 1. $$ W takim razie istnieje jedyna liczba $\gamma\in [0,\pi]$, że $$ \cos \gamma =\frac{\langle x, y \rangle}{|x||y|}. $$ Liczbę tę nazywamy kątem między wektorami $x$ i $y$. W takim razie wektory $x$ i $y$ są prostopadłe (ortogonalne) jeśli $\langle x, y \rangle=0$. Dla wektorów prostopadłych zachodzi twierdzenie Pitagorasa $$ |x+y|^2=|x|^2+|y|^2. $$
Rozszerza się ono do dowolnej liczby wektorów wzajemnie prostopadłych. Symbol $x\perp y$ oznacza prostopadłość wektorów $x$, $y$.
Podprzestrzenie $X$, $Y$ przestrzeni euklidesowej $V$ są ortogonalne, jeśli dla wszelkich $x\in X$ oraz $y \in Y$ mamy $x\perp y$.
Określmy $X^\perp=\{u \in V\colon u\perp x,\, \text{dla każdego $x\in X$}\}$. $X^\perp$ jest podprzestrzenią liniową nazywaną dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni $X$. (Zauważmy, że nawet jeśli $X$ jest tylko podzbiorem przestrzeni $V$, to $X^\perp$ jest już podprzestrzenią.) Zachodzą związki:
Drugi ze związów oznacza, że każdy element $x\in V$ rozkłada się w sposób jednoznaczny na sumę $x=x'+x''$, gdzie $x'\in X$ oraz $x''\in X^\perp$; w szczególności, $x'\perp x''$.
Wykazać, że przyporządkowania $x\mapsto x'$ oraz $x\mapsto x''$ są liniowe. $\blacklozenge$
Pierwsze z nich oznaczmy przez $P$, zaś drugie $-$ $P^\perp$. Oczywiście mamy $P^2=P$ oraz $P^\perp =I-P$. $P$ nosi nazwę projekcji ortogonalnej (rzutu prostopadłego) na podprzestrzeń $X$.
Poprzez procedurę ortogonalizacyjną Grama-Schmidta można wykazać, że przestrzeń euklidesowa $V$ ma bazę ortonormalną, to znaczy taką bazę $f_1, f_2, \ldots f_n$, że $\langle f_i, f_j \rangle=\delta_{ij}$. Dla takiej bazy iloczyn skalarny przyjmuje znaną nam z $\mathbb R^n$ formę
$$ \langle x, y \rangle=\left\langle \sum_i x_if_i, \sum_j y_jf_j\right\rangle=\sum_i\sum_jx_iy_j\delta_{ij}=\sum_i x_iy_i. $$Przestrzenie euklidesowe $V, \langle \cdot, \cdot\rangle_V$ i $W, \langle \cdot, \cdot\rangle_W$ są izomorficzne, jeśli istnieje izomorfizm liniowy $T\colon V \to W$ zachowujący iloczyn skalarny: $$ \langle T(x), T(y)\rangle_W= \langle x, y\rangle_V. $$ Z istnienia baz ortonormalnych wynika, że dwie przestrzenie euklidesowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
Na tej samej przestrzeni możemy określić nieskończenie wiele iloczynów skalarnych:
Niech $h_1, \ldots, h_n$ bedzie jakąkolwiek bazą przestrzeni liniowej $V$. Każdy wektor $x$ tej przestrzeni możemy rozwinąć względem tej bazy: $x=\sum_i x_ih_i$. Następnie możemy przyjąć $$ \langle x, y\rangle_h=\sum_i x_iy_i. $$ Przypomnijmy, że dla ustalonego $i$ przyporządkowanie $x\mapsto x_i$ jest liniowe. Stąd można łatwo wywnioskować, że określona przez nas funkcja $(x,y)\mapsto \langle x, y\rangle_h$ jest iloczynem skalarnym, zaś baza $h_1,\ldots, h_n$ jest względem tego iloczynu ortonormalna.
W świetle faktu, że dla każdego iloczynu skalarnego istnieje baza ortonormalna przekonujemy się, że wskazany przez nas sposób wytwarzania iloczynów skalarnych jest uniwersalny. Wszyskie iloczyny skalarne można według tej recepty wytworzyć.
Układ $h_1=(1,2)$, $h_2=(1,3)$ jest bazą w $\mathbb R^2$. Niech $ \langle \cdot, \cdot\rangle_h$ oznacza iloczyn skalarny wyznaczony przez tę bazę. Określić wzór na $ \langle x, y \rangle_h$ wyrażony za pomocą współrzędnych wektorów $x$, $y$ względem bazy standardowej $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$. $\blacklozenge$
Niech $T$ będzie izomorfizmem liniowym przestrzeni $\mathbb R^n$, zaś $ \langle \cdot, \cdot\rangle$ $-$ standardowym iloczynem skalarnym. Sprawdzić, że funkcja $$ (x,y)\mapsto \langle x \mid y \rangle_T = \langle T(x), T(y)\rangle. $$ jest także iloczynem skalarnym. Jaki jest związek przedstawionego tutaj sposobu wytwarzania iloczynu skalarnego ze sposobem uniwersalnym? $\blacklozenge$
Niech $e_1, \ldots, e_n$ oznacza bazę standardową w $\mathbb R^n$. Określmy $h_1=T^{-1}(e_1), \ldots, h_n=T^{-1}(e_n)$. Mamy
$$
\langle h_i \mid h_j \rangle_T= \langle T(h_i), T(h_j)\rangle= \langle e_i, e_j\rangle=\delta_{ij}.
$$
Co oznacza, że
$$
\langle \cdot, \cdot\rangle_h=\langle \cdot\mid \cdot\rangle_T. \tag{S}
$$
Odwrotnie, mając zadaną bazę $h_1,\ldots, h_n$ możemy określić $T$ przez podanie jego wartości na wektorach tej bazy: $T(h_i)=e_i$. Wtedy $T$ jest odwracalne i $h_i=T^{-1}(e_i)$. Stąd związek $(\text{S})$ pozostanie w mocy. Ustaliśmy, że sposób tworzenia iloczynu skalarnego określony w ćwiczeniu jest tożsamy ze sposobem uniwersalnym.
Określmy funkcję $F:\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R$ wzorem $$ F(x,y)=\sum_{i=1}^n \alpha_{i}x_iy_i. $$ Wykazać, że jest ona symetryczna i liniowa ze względu na $x$. Jakie muszą być wspólczynniki $\alpha_i$ by $F$ była iloczynem skalarnym? $\blacklozenge$
Niech $V$ $-$ przestrzeń euklidesowa i niech $T\in \operatorname{End} (V) $. Istnieje jedyne odzorowanie liniowe $T^*\in \operatorname{End}(V)$ spełniające warunek $$ \bigwedge_{x, y\in V} \langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle. $$
Wybierzmy w $V$ jakąkolwiek uporządkowaną bazę ortonormalną $ \mathbb F=(f_1, \ldots f_n)$. Przypomnijmy, że macierz $A=[a_{ij}]$ odzorowania $T$ względem baz $(\mathbb F, \mathbb F)$ ma postać: $$ a_{ij}= \langle T(f_j), f_i \rangle. $$ (Wzór ten zachodzi jedynie wówczas, gdy $\mathbb F$ jest uporządkowaną bazą ortonormalną.) Na podstawie definicji $T^*$, jeśli $B=[b_{ij}]$ macierz odzorowania $T^*$, to $$ b_{ij}= \langle T^*(f_j), f_i \rangle= \langle f_j, T(f_i) \rangle= a_{ji}. $$ W rezultacie $B=A^\mathsf{T}$. Stąd wynika jedyność $T^*$. Istnienie wynika np. stąd, że $T^*$ można zadać jawnym wzorem $$ T^*(x)=\sum_i \langle x, T(f_i) \rangle f_i. \tag{*} $$ Odwzorowanie $T^*$ nazywamy sprzężonym z $T$. Oczywiście $T^{**}=T$. Jeśli $T=T^*$, to mówimy, że $T$ jest samosprzężone. Samosprzężoność $T$ jest równoważna ze stwierdzeniem, że macierz $A$ jest symetryczna, to znaczy, $A^{\mathsf T}= A$. Stąd o endomorfizmie $T$ często mówimy, że jest symetryczny zamiast samosprzężony.
Każda projekcja ortogonalna jest samosprzężona.
Niech $V$ $-$ przestrzeń euklidesowa i niech $T\in \operatorname{End} (V)$ $-$ odwzorowanie samosprzężone. Wtedy istnieje baza ortonormalna $e_1, \ldots, e_n$ przestrzeni $V$ oraz liczby rzeczywiste $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$, że $T(e_i)=\lambda_ie_i$, dla $i=1,\ldots, n$.
Innymi słowy, $T$ ma bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych. Jeszcze inaczej, istnieje uporządkowana baza ortonormalna $\mathbb E=(e_1,\ldots, e_n)$, że macierz $A$ odwzorowania $T$ względem baz $(\mathbb E, \mathbb E)$ ma postać diagonalną $A=[\lambda_i\delta_{ij}]$.
Dowód znajduje się w materiałach do wykładu z algebry liniowej pod zakładką "twierdzenie spektralne".
Przedstawimy pewien dogodny sposób zapisywania odwzorowań liniowych. Niech $x,y$ będą elementami przestrzeni euklidesowej $V$. Symbolem $x\otimes y$ oznaczamy endomorfizm przestrzeni $V$ określony wzorem $$ x\otimes y(u)=\langle y, u\rangle x. $$ To, że określenie jest poprawne, wynika z liniowości iloczynu skalarnego. Porównaj to zadaniem 4 lista 2 z zeszłego roku. $\blacklozenge$
Twierdzenie spektralne można za pomocą $\otimes$ wyrazić tak:
Jeśli $T\in \operatorname{End} (V)$ $-$ samosprzężone, to istnieje baza ortonormalna $e_1,\ldots e_n$ oraz liczby $\lambda_1,\ldots \lambda_n$, że $$ T=\lambda_1e_1 \otimes e_1+\cdots +\lambda_ne_n\otimes e_n. $$
Przypuśćmy, że endomorfizm $T\in \operatorname{End} (V)$ jest samosprzężony. Powiemy, że $T$ jest nieujemny, jeśli dla wszelkich $x\in V\setminus\{0\}$,
$$ \langle T(x), x \rangle\ge 0. $$Jeśli nierówność jest ostra dla wszelkich niezerowych $x$, to mówimy, że $T$ jest dodatni. W oczywisty sposób określamy endomorfizmy niedodatnie i ujemne.
Niech $T\in \operatorname{End}(\mathbb R^2)$ będzie zadany macierzą $\left[\begin{array}{rr} c & 2\\ 2 & c \end{array}\right]$. Dla jakich liczb $c\in \{1,2,3,4\}$ endomorfizm $T$ jest dodatni? Wyznacz macierz endomorfizmu $\sqrt{T}$ dla $c=4$. $\blacklozenge$
from sympy import *
init_printing()
for c in range(1,5):
M=Matrix([[c,2],[2,c]])
print(M.eigenvals())
Niech $X$ $-$ przestrzeń metryczna z metryką $d$. Kulą (domkniętą) o środku $a\in X$ i promieniu $r>0$ nazywamy zbiór
$$ B(a,r)=\{x\in X\colon d(x,a)\le r\}. $$(Jeśli zamienić w definicji kuli nierówność na ostrą, otrzymamy definicję kuli otwartej.)
Sferą o środku $a\in X$ i promieniu $r>0$ nazywamy zbiór
$$ S(a,r)=\{x\in X\colon d(x,a)= r\}. $$W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią euklidesową, kulę domkniętą możemy określić jako zbiór rozwiązań nierówności
$$ |x-a|\le r. $$Równoważnie,
$$ \langle x-a, x-a\rangle\le r^2 $$Jeśli $X=\mathbb R^n$, to wzory dla kuli możemy wyrazić za pomocą współrzędnych wektorów:
$$ \sqrt{\sum_i (x_i-a_i)^2}\le r\quad \text{bądź też}\quad \sum_i (x_i-a_i)^2\le r^2\quad \text{lub jeszcze inaczej}\quad \sum_i \frac {(x_i-a_i)^2}{r^2}\le 1. $$W przypadku sfery należy powstawiać znaki równości. Oczywiście takie same wzory dostaniemy w dowolnej przestrzeni euklidesowej, jeśli współrzędne wektora brać względem ustalonej uporządkowanej bazy ortonormalnej.
Sferę jednostkową w $\mathbb R^n$, to znaczy sferę o środku w $0$ i promieniu $1$, oznaczamy $\mathbb S^{n-1}$. Kulę jednostkową oznaczamy $\mathbb B^n$. Elipsoidą w $\mathbb R^n$ nazywamy obraz jakiejkolwiek sfery względem dowolnego automorfizmu $T\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n$. (Terminologia nie jest tutaj jednoznaczna i obraz kuli też bywa nazywany elipsoidą.)
Zacznijmy od prostej obserwacji. Niech $X$ i $Y$ oznaczają dowolne zbiory. (W zastosowaniach będzie najczęściej $X=\mathbb R^n$, $Y=\mathbb R$.) Niech $f\colon X\to Y$ pewna funkcja oraz niech $y\in Y$. Niech $A\subset X$ będzie określony równaniem $f(x)=y$; tzn. $A=f^{-1}(y)$ i niech $F\colon X$ oznacza permutację. Jakim równaniem możemy określić zbiór $F[A]$. Oczywiście $x\in F[A] \Leftrightarrow F^{-1}(x)\in A \Leftrightarrow f(F^{-1}(x))=y$. Szukane równanie to $f\circ F^{-1}(x)=y$.
Na płaszczyźnie dano dwa punkty $F_1$ i $F_2$. Dano także liczbę $d>|F_1F_2|$. Zbiór złożony ze wszystkich punktów $X$ spełniających równanie $$ |XF_1|+|XF_2|=d $$ nazywamy elipsą o ogniskach $F_1$, $F_2$. Wyprowadzić równanie elipsy we współrzędnych kartezjańskich przyjmując, że układ uszykowano w taki sposób, by oba ogniska znajdowały się na osi $Ox$ symetrycznie względem początku układu. $\blacklozenge$
Elipsy to po prostu elipsoidy w przestrzeni dwuwymiarowej.
W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych określamy przestrzenie analogiczne do przestrzeni euklidesowych.
Przestrzeń liniową $V$ (skończonego wymiaru) nad ciałem $\mathbb C$ nazywamy unitarną jeśli zadane jest na niej przyporządkowanie $V\times V\ni(x,y)\mapsto \langle x, y \rangle\in \mathbb C$, nazywane iloczynem skalarnym, spełniające następujące warunki:
Połączenie warunków 1. i 2. daje dodatnią określoność iloczynu skalarnego.
Przykładem przestrzeni unitarnej jest $\mathbb C^n$ z iloczynem skalarnym, nazywanym standardowym:
$$ \langle x, y \rangle=x_1\bar{y}_1+x_2\bar{y}_2+\cdots + x_n\bar{y}_n. $$W pracach z fizyki przestrzeń unitarna jest określana inaczej. Warunek 3. zastępuje się przez
W rezultacie iloczyn standardowy w $\mathbb C^n$ jest określony wzorem:
$$ \langle x, y \rangle=\bar{x}_1x_1+\bar{x}_2y_2+\cdots + \bar{x}_ny_n. \tag{$\diamond$} $$Definicja stosowana przez fizyków nie prowadzi do niczego nowego jest jednak często wygodniejsza w operowaniu. $\blacklozenge$
W przestrzeni unitarnej $V$ nadal możemy określić długość wektora: $|x|=\sqrt{\langle x, x\rangle}$. Zachodzi także nierówność Schwarza: $|\langle x, y \rangle| \le |x||y|$. Podobnie jak w przypadku rzeczywistym możemy określić ortogonalność wektorów. Wektory $x$ i $y\in V$ nazywamy ortogonalnymi jeśli $\langle x, y \rangle =0$. Piszemy $x\perp y$. Twierdzenie Pitagorasa nadal zachodzi; to znaczy, dla każdego układu $x_1, x_2, \ldots, x_k \in V$ wzajemnie prostopadłych wektorów mamy
$$ |x_1+x_2+\cdots +x_k|^2=|x_1|^2 + |x_2|^2 + \cdots + |x_k|^2. $$Procedura ortogonalizacyjna Grama-Schmidta nadal działa. Stąd możemy zawsze wyznaczyć bazę ortonormalną takiej przestrzeni. Zachodzi też twierdzenie, że dwie przestrzenie unitarne są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
Jeśli $V$ jest przestrzenią unitarną, to wobec tego, że $\mathbb R\subset \mathbb C$ przestrzeń $V$ jest także przestrzenią liniową nad $\mathbb R$. Rozpatrzmy odwzorowanie:
$$ (x,y)\mapsto r(x,y)=\operatorname{re}\langle x, y \rangle $$Odwzorowanie to jest iloczynem skalarnym na $V$, jako przestrzeni nad $\mathbb R$. W takim razie para $V, r$ jest przestrzenią euklidesową. Zauważmy, że ortogonalność w sensie unitarnym jest bardziej restrykcyjną własnością niż w sensie rzeczywistym. Weźmy $V=\mathbb C$. Wtedy w zgodzie z ($\diamond$) wyrażenie $\langle x, y\rangle=x\bar{y}$ określa iloczyn skalarny. Oczywiście, $\langle x, y\rangle=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$ lub $y=0$. Natomiast $r(x,y)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ i $y$ są prostopadłe w standardowej interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. $\blacklozenge$
Podobnie jak w przypadku euklidesowym, jeśli $T\in \operatorname{End}(V)$, to możemy określić odwzorowanie liniowe $T^*$, sprzężone z $T$, zależnością
$$ \langle T(x), y \rangle= \langle x, T^*(y) \rangle $$Jeśli $\mathbb{F}=(f_1, \ldots, f_n)$ jest uporządkowaną bazą ortonormalną w $V$ to macierz $A=[a_{ij}]$ endomorfizmu $T$ względem baz $(\mathbb{F},\mathbb{F})$ i macierz $B=[b_{ij}]$ endomorfizmu $T^*$ względem $(\mathbb{F},\mathbb{F})$ spełniają zależność
$$ b_{ij}=\bar{a}_{ji} $$Stąd na poziomie macierzy możemy określić operację $A\mapsto A^*=[a^*_{ij}]$ nazywaną sprzężeniem określoną wzorem:
$$ a^*_{ij}= \bar{a}_{ji}. $$Jest to więc złożenie dwu operacji: transpozycji wraz z zespolonym sprzężeniem każdego wyrazu otrzymanej macierzy transponowanej.
Indywidualne twierdzenie spektralne zachodzi w przypadku odwzorowań samosprzężonych ($T^*=T$) bez żadnych zmian. Podkreślmy, że odwzorowania te mają jedynie rzeczywiste wartości własne. Pojawia się jeszcze ciekawa możliwość.
Endomorfizm $T$ przestrzeni unitarnej $V$ nazywamy normalnym jeśli $TT^*=T^*T$, to znaczy, $T$ i $T^*$ są przemienne.
Niech $V$ $-$ przestrzeń unitarna skończonego wymiaru. Niech $T\in \operatorname{End}(V)$ $-$ normalny. Wtedy istnieje uporządkowana baza ortonormalna $\mathbb E= (e_1,\ldots, e_n)$, złożona z wektorów własnych endomorfizmu $T$. (Wartości własne mogą być zespolone!) Innymi słowy, macierz $A$ odwzorowania $T$ względem baz $(\mathbb E, \mathbb E)$ ma postać przekątniową: $$ A=[\lambda_i\delta_{ij}], $$ gdzie każda $\lambda_i$ jest wartością własną odpowiadającą wektorowi własnemu $e_i$: $T(e_i)=\lambda_ie_i$.
Baza zapewniona przez twierdzenie jest także bazą złożoną z wektorów własnych odwzorwania sprzężonego $T^*$. Ponadto, $T^*(e_i)=\bar{\lambda}_ie_i$.
Skoro $T(e_i)=\lambda_i e_i$, to $(T-\lambda_iE)(e_i)=0$, gdzie $E$ $-$ odwozorowanie identycznościowe. Ponieważ $T$ normalny, to $T-\lambda_iE$ też. Ponadto $(T-\lambda_iE)^*=T^*-\bar{\lambda}_iE$. Mamy $$ 0= \langle (T-\lambda_iE)(e_i),(T-\lambda_iE)(e_i)\rangle= \langle e_i, (T-\lambda_iE)^*(T-\lambda_iE)(e_i)\rangle = \langle e_i, (T-\lambda_iE)(T-\lambda_iE)^*(e_i)\rangle=\langle (T-\lambda_iE)^*(e_i), (T-\lambda_iE)^*(e_i)\rangle $$
Na mocy własności iloczynu skalarnego $(T-\lambda_iE)^*(e_i)=0$, a stąd $T(e_i)=\bar{\lambda}_ie_i$. $\blacklozenge$
Niech $T\in \operatorname{End}(\mathbb C^2)$ będzie zadany macierzą $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\operatorname{i}\\ 2\operatorname{i} & 1 \end{array}\right]$. Sprawdź, że $T$ jest normalny oraz wyznacz bazę ortonormalną prowadzącą do postaci przekątniowej dla $T$. $\blacklozenge$
Niech $V$ $-$ przestrzeń unitarna skończonego wymiaru. Niech $\mathscr T\subset \operatorname{End}(V)$ $-$ rodzina parami przemiennych odwozorowań normalnych. Wtedy istnieje wspólna uporządkowana baza ortonormalna $\mathbb E= (e_1,\ldots, e_n)$, złożona z wektorów własnych wszystkich endomorfizmów $T\in \mathscr T$.
Dowód. Ponieważ $\operatorname{End}(V)$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru, więc istnieje maksymalny układ liniowo niezależny $T_1,\ldots, T_m\in \mathscr T$. W szczególności, każdy $T\in \mathscr T$ jest kombinacją liniową endomorfizmów $T_i$. Przeprowadzimy dowód metodą indukcji ze względu na $m$. Niech $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ $-$ wszystkie różne własności własne odwzorowania $T_1$. Niech $V_i=\{x \in V\colon T_1(x)=\lambda_ix\}$ $-$ podprzestrzeń własna endomorfizmu $T_1$ wyznaczona przez $\lambda_i$. Innymi słowy, jest to podprzestrzeń rozpięta na tych spośród $e_j$ gwarantowanych przez indywidualne twierdzenie spektralne zastosowane do $T_1$, że $T_1(e_j)=\lambda_ie_j$. Podprzestrzenie $V_i$, $i=1,\ldots, k$, są parami ortogonalne. Rzeczywiście, Jeśli $x\in V_i$, $y\in V_j$, to
$$ \lambda_i\langle x, y\rangle=\langle \lambda_i x,y\rangle= \langle T_1(x), y\rangle=\langle x, T_1^*(y)\rangle= \langle x, \bar{\lambda_j}y\rangle= \lambda_j\langle x, y \rangle. $$Ponieważ $\lambda_i\neq \lambda_j$, więc $\langle x, y\rangle=0$.
Zauważmy teraz, że jeśli $T\in\mathscr T$, to z przemienności dla każdego $x\in V_i$ mamy
$$ T_1(T(x))=T(T_1(x))=T(\lambda_ix)=\lambda_iT(x). $$W takim razie $T(x)$ jest wektorem własnym odzorowania $T_1$ odpowiadającym wartosci własnej $\lambda_i$, Stąd $T$ przekształca $V_i$ w $V_i$. Podobnie możemy się przekonać, że $V_i$ jest podprzestrzenią własną $T^*$. Zastosujmy do $T_2,\ldots, T_m$ założenie indukcyjne. Na jego podstawie możemy znaleźć w $V_i$ bazę ortonormalną $e_{ij}$, $j=1,\ldots, \dim V_i$ złożoną z wektorów własnych endomorfizmów $T_2,\ldots, T_m$. Jest to też oczywiście baza złożona z wektorów własnych dla $T_1$. Jasne, że wyróżniony układ wektorów składa się z wektorów własnych każdego z odwzorowań $T\in \mathscr T$, bo jeśli pewien wektor jest wspólnym wektorem własnym układu odzorowań, to jest także wektorem własnym każdej ich kombinacji (także złożenia). Ponieważ przestrzenie $V_i$, stanowią rozkład ortogonalny przestrzeni $V$, więc układ wektorów $e_{ij}$, $i=1,\ldots, k$, $j=1,\ldots, \dim V_i$ stanowi szukaną bazę ortonormalną. (Możemy ją jedynie przenumerować do formatu opisanego w twierdzeniu.) $\Box$