Uzupełnianie przestrzeni metrycznej.

Jeśli przestrzeń metryczna $(X,d)$ nie jest zupełna, to można ją uzupełnić w następującym sensie.

Twierdzenie 1u.

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to istnieje metryczna przestrzeń zupełna $(X^\bullet, d^\bullet)$ oraz zanurzenie izometryczne $f\colon X\to X^\bullet$, że domknięcie obrazu $f(X)$ (w $(X^\bullet,d^\bullet)$) jest równe $X^\bullet$.

Komentarz.

Przestrzeń $(X^\bullet, d^\bullet)$ nazywamy uzupełnieniem przestrzeni $(X,d)$.

Zanurzenie izometryczne to synonim odwzorowania zachowującego odległość. Oznacza to, że dla wszelkich $x, y\in X$, $d^\bullet(f(x),f(y))=d(x,y)$.

Ćwiczenie 1u.

Wykazać, że uzupełnienie określone jest jednoznacznie z dokładnością do izometrii. To znaczy jeśli $f\colon (X,d)\to (X^\bullet, d^\bullet)$ oraz $f'\colon (X,d)\to (X', d')$ $-$ zanurzenia opisane w twierdzeniu, to istnieje jedyna izometria $c\colon X^\bullet\to X'$ (bijekcja zachowująca odległość), że $c\circ f=f'$. $\blacklozenge$.

Dowód tw. 1u. Istnieje kilka dowodów. Omawiany tutaj wykorzystuje ciągi Cauchy'ego. Niech $\mathscr C$ oznacza rodzinę wszystkich ciągów Cauchy'ego przestrzeni $X$. Wprowadźmy w $\mathscr C$ relację równoważności $\sim$: $$ (x_n)\sim (y_n) \Longleftrightarrow \text{ciąg $(d(x_n, y_n))$ jest zbieżny do zera.} $$

Ćwiczenie 2u.

Sprawdzić, że $\sim$ jest relacją równoważności. $\blacklozenge$

Niech $U=[(u_n)]$ i $V=[(v_n)]$ $-$ dwie klasy abstrakcji relacji $\sim$. Określmy odległość między nimi za pomocą reprezentantów:

$$ d^\bullet (U,V):= \lim_{n\to \infty} d(u_n, v_n). $$

Istnienie granicy wynika stąd, że ciągi $(u_n)$, $(v_n)$ są Cauchy'ego oraz z faktu, że $\mathbb R$ jest przestrzenią zupełną.

Ćwiczenie 3u

Sprawdzić, że $d^\bullet$ jest określona poprawnie, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów. Wykazać, że jest to rzeczywiście metryka w $X^\bullet=\mathscr C/\sim$.

Zauważmy teraz, że $(X^\bullet, d^\bullet)$ jest przestrzenią zupełną. Niech $(U_n)$ będzie ciągiem Cauchy'ego w $X^\bullet$. By wykazać, że jest on zbieżny wystarczy wskazać odpowiedni jego podciąg, który jest zbieżny. Dlatego przechodząc do podciągu, jeśli to konieczne, możemy dalej zakładać, że nasz ciąg spełnia dodatkowo warunek:

Dla każdej pary $n < p$ zachodzi nierówność

$$ d^\bullet(U_n, U_p) <\frac 1{3n}. \tag{$\diamondsuit$} $$

Niech ciąg $((x_{nm})\colon m\in \mathbb N)$ będzie reprezentantem klasy abstrakcji $U_n$. Ponieważ jest to ciąg Cauchy'ego, więc istnieje wskaźnik $m_n$, że

$$ d(x_{nm_n},x_{nm})<\frac 1{3n},\quad \text{dla każdego $m\ge m_n$}. \tag{$\spadesuit$} $$

Oczywiście, możemy dodatkowo zadbać o to, by ciąg wskaźników $(m_n: n\in \mathbb N)$ był ściśle rosnący. Określmy ciąg, którego wyrazy $y_n$ dane są zależnością $y_n= x_{nm_n}$. Na podstawie $(\spadesuit)$, dla dowolnej pary wskaźników $n

Ponieważ $\lim_{r\to \infty}d(x_{nr}, x_{pr})= d^\bullet (U_n,U_p)$, więc wobec $(\diamondsuit)$ dostaniemy

$$ d(y_n, y_p)\le \frac{1}{n}. $$

Stąd ciąg $(y_n)$ jest Cauchy'ego. Niech $U=[(y_n)]$. Wykażemy, że $U_n\stackrel{\longrightarrow}{\tiny n\to \infty} U$, co zakończy dowód zupełności przestrzeni $X^\bullet$. Wobec $(\spadesuit)$ i definicji ciągu $(y_n)$ dla $r>m_n$ mamy

$$ d(x_{nr}, y_r)\le d(x_{nr}, x_{nm_n})+ d(x_{m_n},y_r)\le \frac 1{3n}+d(y_n, y_r)\le \frac 4{3n}. $$

Stąd

$$ d^\bullet (U_n, U)=\lim_{r\to \infty} d(x_{nr}, y_r)\le \frac 4{3n} $$

Każdemu $x\in X$ odpowiada ciąg stały $(x: n \in \mathbb N)$. Określmy $f(x)$ jako klasę abstrakcji ciagu stałego $[(x)]$. Wprost z definicji metryki $d^\bullet$ wynika, że $f$ zachowuje odległość. Pozostaje sprawdzić, że $f(X)$ jest gęsty w $X^\bullet$. wybierzmy dowolny $U$ w $X^\bullet$. Wtdey istnieje ciąg Cauchy'ego $(u_n)$ w $X$, że $U=[(u_n)]$. łatwo Łauważyć, ze ciąg $(f(u_n))$ jest zbieżny do $U$ w $(X^\bullet, d^\bullet)$. $\square$

Ciało $p$-adyczne.

Ustalmy jakakolwiek liczbę wymierną $q\neq 0$. Wtedy możemy ją rozłożyć na czynniki pierwsze $q=2^{k_1}3^{k_2}\cdots p_s^{k_s}\cdots$, gdzie wykładniki $k_i$ są różne od zera tylko dla skończenie wielu liczb $p_s$. Taki rozkład jest jednoznaczny. Jeśli $p$ jest $s$-tą liczbą pierwszą, to jej wykładnik $k_s$ w rozkładzie liczby $q$ zapisujemy także $v_p(x)$ i nazywamy wykładnikiem $p$-adycznym liczby $q$. Np. $v_2(\frac 34 )=-2$, $v_3(\frac 34)=1$, oraz $v_p(\frac 34)=0$ dla liczb pierwszych $p\ge 5$. Określmy teraz normę $p$-adyczną niezerowej liczby wymiernej $q$ wzorem $$ |q|_p=\frac{1}{2^{v_p(q)}}. $$ Dodatkowo przyjmijmy $|0|_p=0$ i w zgodzie z tą umową $v_p(0)=\infty$. Ponieważ nie będziemy precyzowali, o którą z norm $p$-adycznych nam chodzi, więc na ogół wskaźnik $p$ w oznaczeniu normy będziemy opuszczali

Lemat.

Dla liczb wymiernych $x$, $y$ i liczby pierwszej $p$ zachodzą następujące związki:

• $v_p(x + y)\ge \min (v_p(x), v_p(y))$;

• $\displaystyle{v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y),\qquad v_p\left(\frac xy\right)=v_p(x)-v_p(y)}$.

Dowód Drugi ze związków jest raczej oczywisty i wynika natychmiast ze znanych nam własności liczb całkowitych. Co się tyczy pierwszego, zacznijmy od ustalenia jego prawdziwości dla liczb całkowitych $k, l$. Możemy z nich wydzielić część $p$-adyczną i wtedy $k=p^{v_p(k)}k'$, $l=p^{v_p(l)}l'$, gdzie wykładniki $p$-adyczne liczb $k'$ i $l'$ są zerowe. Niech $m=\min(v_p(k), v_p(l))$. W takim razie $$ k + l=p^m(p^{v_p(k)-m} k'+ p^{v_p(l)-m}l'). $$

Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest liczba całkowitą więc jej wykładnik $p$-adyczny jest nieujemny. Stąd $v_p(k+l)\ge m$.

Przedstawmy teraz $x$ i $y$ w postaci ułamków $\displaystyle{\frac q r}$, $\displaystyle{\frac s t}$. Korzystając z dotychczasowych ustaleń mamy $$ v_p\left(x+ y\right)=v_p\left(\frac{qt + rs}{rt}\right)= v_p(qt + rs)-v_p(rt)\ge \min(v_p(qt), v_p(rs))-v_p(rt)= \min(v_p(qt)-v_p(rt), v_p(rs)-v_p(rt))= \min( v_p(x), v_p(y)). $$ $\square$

Własności normy $p$-adycznej.

Twierdzenie

Norma $p$-adyczna na $\mathbb Q$ ma następujące własności:

• $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$;

• $|x + y|\le \max(|x|, |y|)\le |x|+ |y|$;

• $|xy|=|x||y|$;

• $|-x|=|x|$.

Uwaga.

Norma $p$-adyczna ma własności podobne do własności modułu liczby zespolonej i do normy euklidesowej w algebrze macierzy. W szczególności określa ona odległość w $\mathbb Q$ wzorem $d(x,y)=|x-y|$.

Dowód. Własność pierwsza i ostatnia są oczywiste. Druga i trzecia wynikają z lematu:

$$ |x+ y|=\frac 1 {2^{v_p(x + y)}}\le \frac 1 {2^{\min(v_p(x), v_p( y))}} = \max\left( \frac 1 {2^{v_p(x)}}, \frac 1 {2^{v_p(y)}}\right)=\max(|x|, |y|). $$

Ćwiczenie 1p.

Uzasadnić trzecią własność (multiplikatywność). $\square$

Podobnie jak wcześniej w przypadku $\mathbb R^n$ i $GL_n(\mathbb R)$, możemy wykazać, że cztery podstawowe działania w $\mathbb Q$ z odległością określoną przez normę $p$-adyczną są ciągłe.

Ćwiczenie 2p.

Wykazać ciągłość dodawania, mnożenia, brania elementu odwrotnego, przeciwnego w $\mathbb Q$ z normą $p$-adyczną. (Przeanalizuj odpowiednie rachunki w algebrze macierzy i $GL_n(\mathbb R)$.

Dalej, myśląc o metryce w $\mathbb Q$ będziemy odwoływać się do normy $p$-adycznej. Zauważmy , że zbiór liczb wymiernych nie jest względem tej metryki przestrzenią zupełną. Można wykazać, że otrzymana przez uzupełnienie przestrzeń metryczna $\mathbb Q_p$ ma moc continuum, więc choćby z tego powodu jest znacznie większa niż $\mathbb Q$. Z powodu ciągłości operacji w $\mathbb Q$ można je przenieść do przestrzeni $\mathbb Q_p$. W ten sposób ta ostatnia staje się ciałem zupełnym, tak jak ciało liczb rzeczywistych bądź ciało liczb zespolonych. Norma $p$-adyczna oczywiście też się przenosi. Ciało to to nazywamy ciałem liczb $p$-adycznych.

Ćwiczenie 3p

Rozpatrzmy ciąg $(p^n\colon n\in \mathbb N)$. Czy ma on granicę w $\mathbb Q$ w sensie $p$-adycznym. Jeśli tak, to jaką?

Twierdzenie.

Niech $r$ oznacza dowolną liczbę całkowitą oraz niech $(a_n\colon n\in \{r, r+1, r+2,\ldots\})$ oznacza ciąg o wartościach w $\{0,1,\ldots (p-1)\}$. Wtedy szereg $$ \sum_{n=r}^\infty a_np^n. $$ ma sumę w $\mathbb Q_p$. Ponadto, jeśli $a_r\neq 0$ oraz $s$ jest sumą naszego szeregu, to $|s|=\frac 1{2^r}$

Dowód. Należy wykazać, że ciąg sum częściowych $(s_n=\sum_{m=r}^n a_mp^m)$ jest zbieżny. Jednak dla dowolnej pary $n $$ |s_t-s_n|= |a_{n+1}p^{n+1}+\cdots a_tp^t|=|p^{n+1}||a_{n+1}+\cdots a_tp^{t-n-1}|\le \frac 1 {2^n}. $$

Stąd wskazany ciąg sum częściowych jest Cauchy'ego, więc w $\mathbb Q_p$ ma granicę, zaś szereg ma sumę.

By dowieść części drugiej, zauważmy, że dla każdej sumy częściowej $s_n$ liczba $p^{-r}s_n$ jest całkowita i równa

$$ a_r+ a_{r+1}p+\cdots + a_n p^{n-r}. $$

Ponieważ $a_r\neq 0$, więc liczba ta ma wykladnik $p$-adyczny równy $0$. Stąd $$ |s_n|=|p^r||p^{-r}s_n|=\frac 1 {2^r}. $$

Ponadto, $$ |s_n|-|s_n-s|\le |s|\le |s_n|+|s-s_n|. $$

Skoro ciąg $|s_n|$ jest stały, zaś $|s-s_n|$ dąży do $0$, gdy $n\to\infty$, otrzymamy tezę.

$\square$.

Twierdzenie.

Każdy element $x\in \mathbb Q_p$ przedstawia się jako suma szeregu postaci opisanej w poprzednim twierdzeniu.

Ćwiczenie 4p.

Samodzielnie wykazać to twierdzenie dla liczb wymiernych.

Naszym celem jest wykazanie, że $\mathbb Q_p$ jest przestrzenią lokalnie zwartą. W tym celu potrzebujemy właśnie faktu wyrażonego w ćwiczeniu 4p.

Oznaczmy przez $B_1$ zbiór tych $x\in \mathbb Q_p$, że $|x|\le 1$. To oczywiście domknięta kula jednostkowa o środku w 0. Zauważmy, że liczba wymierna $w$ należy do $B_1$ tylko wtedy, gdy jej wykładnik $p$-adyczny jest nieujemny. Stąd jej rozwinięcie w szereg musi mieć postać $w=\sum_{n=r}^\infty a_np^n$, gdzie $r\ge 0$. Ponieważ norma $p$-adyczna przyjmuje jako wartości na liczbach wymiernych jedynie całkowite potęgi dwójki, więc ta prawidłowość utrzyma się i dla uzupełnienia $\mathbb Q_p$. Stąd $B_1$ możemy także określić jako zbiór tych $x$, że $|x|<2$ ! Jest więc $B_1$ także kulą otwartą. W takim razie zbiór tych liczb wymiernych, które należą do $B_1$ musi być w tej kuli gęsty. Określmy zbiór $D_n$ wszystkich liczb postaci $a_0+a_1p+\cdots +a_np^n$, gdzie $a_i\in \{0,1,\ldots, p-1\}$. Jeśli teraz $w$ jest liczbą wymierną w $B_1$ to przedstawia się jako szereg, a jego $n$-tą sumę częściową $s_n$ można znaleźć w zbiorze $D_n$. Stąd $|w-s_n|\le \frac 1{2^n}$. Co oznacza, że zbiór $D_n$ jest $\frac 1 {2^n}$-siecią kuli $B_1$. Ale liczność $D_n$ nie przekracza $p^{n+1}$, więc jest to skończona $\frac 1{2^n}$-sieć. Oczywiście dla każdego $\varepsilon>0$ możemy dobrać na tyle wielkie $n$, by $D_n$ stało się $\varepsilon$-siecią.
Zbiór $B_1$ jako podzbiór domknięty przestrzeni zupełnej musi być w takich warunkach zwarty. $\mathbb Q_p$ ma więc zwarte otoczenie 0. Jeśli wziąć jakikolwiek inny element $y \in \mathbb Q_p$, to kulą jednostkową wokół niego jest $B_1+y=\{u+y\colon u \in B_1\}$. Ten zbiór jest oczywiście także zwarty. Wykazaliśmy więc

Twierdzenie.

Ciało liczb $p$-adycznych z odległością zadaną przez normę $p$-adyczną jest ciałem topologicznym lokalnie zwartym.

Uwaga.

Znacznie więcej o ciałach $p$-adycznych można dowiedzieć się z książki Jerzego Browkina Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.

Opis wszystkich ciał lokalnie zwartych dał Pontriagin w tłumaczonej na język polski książce Grupy topologiczne.