Dalej zakładamy, że wszystkie rozpatrywane przestrzenie topologiczne, są metryzowalne; to znaczy, ich topologia zadana jest przez pewną metrykę.

Wiele metryk może zadawać tę samą topologię. Łatwo sprawdzić, że

Ćwiczenie.

Dwie metryki $d$, $\delta$ na zbiorze $X$ zadaja tę samą topologię wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X$ i każdej liczby $R>0$ istniejr $r>0$, że zachodzą relacje:

$$ \stackrel{\circ}{\mathbb B}_d(x,r) \subset \stackrel{\circ}{\mathbb B}_{\delta}(x,R), \quad \stackrel{\circ}{\mathbb B}_\delta (x,r) \subset \stackrel{\circ}{\mathbb B}_d(x,R). $$

Wszystkie kule są otwarte. Symbol przy $\mathbb B$ oznacza metrykę, względem której kula jest wyznaczona.

Następne stwierdzenie nie jest nam zasadniczo potrzebne, ale pozwala sobie uzmysłowić jak sprawdzić, że dwie przestrzenie są homeomorficzne.

Stwierdzenie.

Przypuśćmy, że $X$ i $Y$ $-$ przestrzenie topologiczne zwarte. Wykazać, że jeśli $f\colon X\to Y$ jest ciągłą bijekcją, to jest homeomorfizmem.

Dowód.

Należy wykazać, że odwzorowanie odwrotne jest ciągłe. Ponieważ zakładamy, że przestrzenie są metryzowalne, pozostaje sprawdzić, że dla każdego $y\in Y$, jeśli ciąg $(y_n)$ jest zbieżny do $y$, to ciąg $(x_n)$, o wyrazach $x_n=f^{-1}(y_n)$ jest zbieżny do $x=f^{-1}(y)$. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje liczba dodatnia $\rho$ oraz nieskończony podciąg $(x'_n)$ ciągu $(x_n)$, że $$ d(x'_n,x) >\rho, \tag{*} $$ gdzie $d$ $-$ metryka na $X$. Pamiętamy, że w przestrzeni metrycznej zwartej z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny, więc możemy przyjąć nadto, że $(x'_n)$ jest zbieżny do pewnego elementu $x'$. Oczywiście z $(*)$ wynika, że $d(x',x)\ge \rho$. Stąd $x'\neq x$. Na podstawie ciągłości $f$, ciąg $(y'_n)$ o wyrazach $y'_n=f(x'_n)$ jest zbieżny do $f(x')$. Z drugiej strony, $(y'_n)$ jest podciągiem ciągu $(y_n)$, więc ma tę sama granicę $f(x)$. W rezultacie $f(x')=f(x)$, co nie jest możliwe, bo $f$ jest bijekcją, zaś $x$ i $x'$ sa różne. $\square$

Ćwiczenie.

Niech $A$ i $B$ będą zwartymi zbiorami wypukłymi w $\mathbb R^n$ o niepustych wnętrzach. Udowodnić, że $A$ i $B$ są homeomorficzne.

Dowód na wykładzie.

Przypomnijmy, że jeśli $A$ jest podzbiorem przestrzeni $X$, to jego wnętrzem nazywamy zbiór tych wszystkich $x \in A$, że istnieje zbiór otwarty $U$, że $x\in U\subseteq A$.

Ćwiczenie.

Udowodnić, że wnętrza zbiorów z poprzedniego ćwiczenia są także homeomorficzne.

Charakterystyka Eulera.

Naiwne określenie charakterystyki Eulera.

Niezbyt skomplikowanym podzbiorom przestrzeni $\mathbb R^n$ przypiszemy w określony sposób liczby całkowite. Otrzymaną w taki sposób funkcję $\chi$ nazywamy charakterystyką Eulera. Jest ona naturalnym rozszerzeniem pojęcia liczności do zbiorów z uwzględniem ich struktury topologicznej. (Terminu niezbyt skomplikowany zbiór nie precyzujemy.)

• $\chi(\emptyset)=0$;
• jeśli $A$ jest niepustym zbiorem wypukłym i zwartym, to $\chi(A)=1$;
• jeśli zbiór $B$ jest obrazem zbioru $A$ względem dostatecznie regularnego homeomorfizm przestrzeni $\mathbb R^n$ i którykolwiek z tych zbiorów ma określoną liczbę Eulera, to drugi także i zachodzi zwiazek $\chi(A)=\chi(B)$;
• jeśli $A$ i $B$ są dowolnymi zbiorami oraz dla trzech spośród zbiorów $A$, $B$, $A\cap B$ i $A\cup B$ określone są liczby Eulera, to także i dla czwartego. Nadto zachodzi związek

$$ \chi(A\cup B)+\chi (A\cap B)=\chi (A)+ \chi (B). $$

Uwagi.

1. Nie precyzujemy pojęcia dostatecznie regularny homeomorfizm. Należy wyobrazić sobie, że zbiór $B$ powstaje poprzez wyginanie, rozciąganie $A$ bez sklejania jego części prowadzącego do utożsamienia różnych punktów.

2. Zgodnie z ostatnim aksjomatem można nawet zbiór rozerwać. Nie wolno jednak gubić punktów. Należy postępować tak jak przy zliczaniu przedmiotów. Wolno je przemieszczać. Jednak przy zliczaniu nie wolno przedmiotów rozrywać. traktujemy je jak punktówe.

Ćwiczenie.

Oblicz charakterystykę Eulera następujących zbiorów:

• okrąg;
• pierścień domknięty, otwarty;
• symbol nieskończoności;
• wszystkie cyfry, litery;
• wnętrze koła, dowolnego wielokatą;
• sfera;
• wnętrze kuli;
• torus wypełniony i jako powierzchnia;
• płaszczyzna rzutowa;
• powierzchnia torusa z $k$ dziurami
• krata $n\times m$.

Ćwiczenie.

Niech $W$ wielościan wypukły. Niech $v$ oznacza liczbę jego wierzchołków; $e$ $-$ krawędzi zaś

$f$ $-$ ścian. Wykaż wzór Eulera:

$$ v-e+f=2 $$

Skąd się bierze $2$ we wzorze? Wyprowadź podobny wzór dla powierzchni wielościennej o kształcie torusa.