Przypomnienie. (tp)

Podzbiór $U$ przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy otwartym, jeśli dla każdego $u\in U$ istnieje kula $B(u,r)$ o środku w $u$ i promieniu $r>0$, że $B(x,r)\subseteq U$.

Ćwiczenie 1tp.

Wykazać, że każda kula otwarta $\stackrel\circ{B}(u,r)=\{x\colon d(u,x)< r\}$ w $X$ jest zbiorem otwartym.

Ćwiczenie 2tp.

Niech $\mathscr T$ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni $(X,d)$. Sprawdzić, że rodzina ta ma następujące własności:

  1. $\emptyset$ i $X$ należą do $\mathscr T$;

  2. Jeśli $U, V \in \mathscr T$, to $U\cap V\in \mathscr T$

  3. Jeśli $(U_i\colon i\in I)$ jest dowolną rodziną indeksowaną zbiorów otwartych (elementów $\mathscr T$), to $\bigcup_{i\in I} U_i\in \mathscr T$. $\blacklozenge$

Zauważmy, że z 2. możemy wywnioskować, iż także każda skończona rodzina zbiorów otwartych ma przekrój będący zbiorem otwartym.

Niech $X$ oznacza dowolny zbiór zaś $\mathscr T$ $-$ pewną rodzinę jego podzbiorów. Parę $(X,\mathscr T)$ nazywamy przestrzenią topologiczną, jeśli dla $\mathscr T$ spełnione są warunki $(1-3)$. Samą rodziną $\mathscr T$ nazywamy rodziną wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni $(X,\mathscr T)$ albo jej topologią.

Uwaga terminologiczna.

Zamiast "przestrzeń topologiczna $(X,\mathscr T)$" mówimy też "przestrzeń topologiczna $X$ z topologią $\mathscr T$" lub "przestrzeń $X$ z topologią $\mathscr T$", lub też nawet "przestrzeń topologiczna $X$". W tym ostatnim przypadku albo topolgia $\mathscr T$ wynika z kontekstu, albo pozostaje niesprecyzowana. $\blacklozenge$

Podzbiór $S$ przestrzeni topologicznej $X$ nazwiemy otoczeniem punktu $x\in X$, jeśli istnieje zbiór otwarty $U$, że $x\in U\subseteq S$.

Ćwiczenie 3tp.

Wykazać, że jeśli zbiór $S$ jest otoczeniem każdego punktu $x$ należącego do $S$, to jest zbiorem otwartym. $\blacklozenge$

Przestrzeń topologiczna $X$ jest Hausdorffa, jeśli

  • dla każdej pary różnych punktów $u, v \in X$ istnieją zbiory otwarte $U$, $V$, że $u\in U$, $v\in V$ oraz $U\cap V=\emptyset$. (warunek Hausdorffa)

Warunek Hausdorffa należy do tak zwanych aksjomatów oddzielania.

Ćwiczenie 4tp.

Przestrzenie metryczne są Hausdorffa.$\blacklozenge$

Zakładamy, że rozpatrywane przez nas przestrzenie topologiczne są Hausdorffa. Jednak w przypadku, gdy z danych przestrzeni tworzymy nową trzeba sprawdzić, czy ta nowa przestrzeń jest także Hausdorffa.

Topologia relatywna

Niech $Y$ $-$ podzbiór przestrzeni topologicznej $(X,\mathscr T)$. Niech $\mathscr T_Y=\{U\cap Y\colon U\in \mathscr T\}$.

Ćwiczenie 5tp.

Rodzina $\mathscr T_Y$ jest topologią na $Y$.$\blacklozenge$

Topologię $\mathscr T_Y$ nazywamy topologią relatywną (w odniesieniu do $(X, \mathscr T)$.

Ćwiczenie 6tp.

Wykazać, że jeśli $(X, \mathscr T)$ $-$ przestrzeń Hausdorffa oraz $Y\subseteq X$, to $Y$ z topologią relatywna jest także Hausdorffa.$\blacklozenge$

Topologia produktowa.

Dano dwie przestrzenie topologiczne $(X,\mathscr T_X)$, $(Y, \mathscr T_Y)$. Na zbiorze $X\times Y$ określamy rodzinę $\mathscr T=\mathscr T_X\otimes \mathscr T_Y$:

$$ W\in \mathscr T \Leftrightarrow \text{dla wszelkich $(x, y)\in W$ istnieją $U\in \mathscr T_X$, $V\in \mathscr T_Y$, że $(x,y)\in U\times V\subseteq W$}. $$

Ćwiczenie 5tp.

  1. Wykazać, że rodzina $\mathscr T=\mathscr T_X\otimes \mathscr T_Y$ jest topologią na $X\times Y$.
  2. Wykazać, że z założenia, iż $X$, $Y$ są przestrzeniami Hausdorffa wynika, że także $X\times Y$ z topologią produktową jest Hausdorffa.$\blacklozenge$

Przestrzenie zwarte.

Niech $\mathscr F$ oznacza rodzinę niepustych podzbiorów pewnego zbioru $X$. Niech $A\subseteq X$. Powiemy, że rodzina ta stanowi pokrycie zbioru $A$, jeśli każdy element $x\in A$ leży w pewnym $F\in \mathscr F$. Krótko, $A\subseteq \bigcup \mathscr F$. Pokrycie $\mathscr F$ nazywamy otwartym, jeśli jego elementy są zbiorami otwartymi. Podpokryciem pokrycia $\mathscr F$ jest każda podrodzina $\mathscr G\subseteq \mathscr F$ stanowiąca nadal pokrycie $A$. Podpokrycie jest skończone, jeśli ma skończenie wiele elementów.

Podzbiór $K$ przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy zwartym jeśli każdego jego pokrycie otwarte zawiera podpokrycie skończone.

Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną, a $A$ jej podzbiorem, to $\varepsilon$-siecią zbioru $A$ nazywamy wszelki zbiór $S\subseteq X$, że dla każdego $a \in A$, $\stackrel\circ{B}(a,\varepsilon)\cap S\neq \emptyset$. Czasami wymaga się dodatkowo, by $S\subseteq A$, ale nie ma to istotnego znaczenia. Jeśli $\varepsilon$-sieć ma skończenie wiele elementów, to mówimy, że jest skończona.

Ćwiczenie 6tp.

Wykazać, że jeśli $K$ jest podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej $X$, to ma skończoną $\varepsilon$-sieć dla każdej liczby $\varepsilon>0$. $\blacklozenge$

Przestrzenie lokalnie zwarte. (pl)

Przestrzeń $X$ nazywamy lokalnie zwartą, jeśli każdy jej punkt $x$ ma otoczenie zwarte. (Oczywiście zakładamy, że $X$ jest Hausdorffa.)

Stwierdzenie 1pl.

Każdy domknięty podzbiór $D$ przestrzeni lokalnie zwartej $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą.

Dowód. Niech $x \in D$. Ponieważ $X$ $-$ lokalnie zwarta, więc istnieje zwarte otoczenie $K$ punktu $x$. Wtedy stąd, że $D$ jest domknięty, $K\cap D$ jest zbiorem zwartym i jest oczywiście otoczeniem punktu $x$ w $D$. $\square$.

Ćwiczenie 1pl.

  • Wykazać, że jeśli $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, to w każdym otoczeniu dowolnego punktu $x$ zawarte jest zwarte otoczenie tego punktu.
  • Wykazać, że jeśli $U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni lokalnie zwartej $X$, to $U$ jest przestrzenią lokalnie zwartą.

  • Czy zbiór liczb wymiernych z topologią zadaną przez zwykłą odległość jest lokalnie zwarty?$\blacklozenge$

Przykład 1pl.

$\mathbb R^n$ jest lokalnie zwarta, bo jak pamiętamy, każdy podzbiór domknięty i ograniczony przestrzeni $\mathbb R^n$ jest zwarty. Stąd wnioskujemy, że każdy punkt ma otoczenie zwarte.$\blacklozenge$

Stwierdzenie 2pl.

Jeśli $X$ i $Y$ $-$ lokalnie zwarte, to przestrzeń $Z=X\times Y$ z topologią produktową jest lokalnie zwarta.

Dowód. Wynika natychmiast przez zestawienie dwóch faktów:

  • $z=(x,y)\in X\times Y$ oraz $U$ jest otoczeniem $x$ w $X$, $V$ $-$ otoczeniem y w $Y$, to $U\times V$ jest otoczeniem $z$ w $Z$.

  • Jeśli $K$ $-$ zwarty w $X$ oraz $L$ $-$ zwarty w $Y$, to $K\times L$ zwarty w $Z$.$\square$

Uzwarcenia.

Przypomnienie.

Dwie przestrzenie $X$ i $Y$ nazywamy homeomorficznymi jeśli istnieje ciagła bijekcja $f\colon X \to Y$, że jej odwrotność $f^{-1}$ też jest ciągła. Piszemy $X\simeq Y$

Ćwiczenie 4pl.

  • Wykazać, że każda para otwartych przedziałów ograniczonych bądź nie jest homeomorficzna.

  • Niech $A$ $-$ przedział otwarty, $B$ $-$ przedział półotwarty i $C$ $-$ przedział domknięty. Wykazać, że $A\not\simeq B\not\simeq C\not\simeq A$.

  • Wykazać, że $\mathbb R\simeq \stackrel{\circ}{\mathbb B^n}$. ($\stackrel\circ{\mathbb B^n}$ oznacza jednostkową kulę otwartą.)

  • Czy kulę można zamienić na wnętrze ciała wypukłego? Ciało wypukłe w $\mathbb R^n$ to zbiór zwarty, wypukły $\mathbb R^n$ o niepustym wnętrzu. $\blacklozenge$

$Y$ jest podzbiorem gęstym przestrzeni topologicznej $X$ jeśli dla każdego zbioru otwartego $U$ przestrzeni $X$ przekrój $Y\cap U$ jest niepusty.

Uzwarceniem przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy każdą zwartą przestrzeń topologiczną $Y$ zawierającą podzbiór $S$, który jest homeomorficzny z $X$ oraz gęsty w $Y$. Zbiór $Y\setminus S$ nazywamy narostem uzwarcenia.

Przykład 1pl.

Rozpatrzmy drogę $\boldsymbol x:(0,2\pi)\to \mathbb R^2$ określoną wzorem $\boldsymbol x(t)=(\cos t, \sin t)$. Jest to odwzorowanie z przedziału w okrąg jednostkowy $\mathbb S^1=\{(x,y)\colon x^2+y^2=1\}$. Oba zbiory $(0,2\pi)$ i $\mathbb S^1$ są przestrzeniami metrycznymi i stąd także topologicznymi. Odwzorowanie $\boldsymbol x$ określa homeomorfizm między $(0,2\pi)$ a zbiorem $S=\boldsymbol x[(0,2\pi)]$. $S$ jest zbiorem gęstym w $\mathbb S^1$. W takim razie $S^1$ jest uzwarceniem przestrzeni $(0,2\pi)$. Zauważmy, że narost $\mathbb S^1\setminus S$ jest zbiorem jednopunktowym $\{(1,0)\}$. Opisane uzwarcenie jest przykładem uzwarcenia jednopunktowego. Dalej takie uzwarcenia opiszemy nieco bardziej abstrakcyjnie.

Uzwarcenie jednopunktowe zwane też uzwarceniem Aleksandrowa.

Niech $X$ $-$ przestrzeń lokalnie zwarta, która jednak nie jest zwarta (np. każdy przedział pozbawiony przynajmniej jednego końca, ograniczony bądź nie). Weźmy dowolny punkt $x_\infty$ nieleżący w $X$ nazwijmy go punktem w nieskończoności i dołączmy do $X$. Powstanie nowy zbiór $X_\infty=X\cup\{x_\infty\}$. Określmy otoczenia otwarte punktu w nieskończoności:

  • $U\subseteq X_\infty$ jest otoczeniem otwartym punktu $x_\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór zwarty $K$ w $X$, że $U=X\setminus K$.

Opiszmy topologię $\mathscr T$ przestrzeni $X_\infty$:

  • $U\subseteq X_\infty$ jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy $U$ jest zbiorem otwartym w $X$ względnie jest otoczeniem otwartym punktu $x_\infty$.

Ćwiczenie 5pl.

Sprawdzić poprawność definicji topologii $\mathscr T$. Wykazać, że $X_\infty$ jest Hausdorffa (oczywiście zakładamy, że $X$ jest Hausdorffa).$\blacklozenge$

Ćwiczenie 6pl.

Jeśli $A$ jest niepustym podzbiorem zwartym osi liczbowej, to ma element najmniejszy i największy.$\blacklozenge$

Przykład 2pl.

  1. Weźmy w charakterze $X$ przedział otwarty $(a,b)$ z topologią zadaną przez odległość. Niech $x\in X$. Wtedy możemy znaleźć liczby $c, d \in X$, że $c

Ćwiczenie 7pl.

  1. Jak wygląda uzwarcenie Aleksandrowa półotwartego przedziału?

  2. Wskaż jakąkolwiek zwartą przestrzeń $X$, dla której istnieje ciągła bijekcja z przedziału $(0,1)$ na $X$. Czy $X$ jest uzwarceniem przedziału $(0,1)$?$\blacklozenge$

Struktury algebraiczno-topologiczne.

Przestrzeń Hausdorffa $(G, \mathscr T)$ nazywamy grupą topologiczną, jeśli dodatkowo zadane jest działanie $G\times G\ni (g,h)\mapsto gh$, czyniące z $G$ grupę i nadto zarówno to działanie jak i odwzorowanie $g\mapsto g^{-1}$ są ciągłe. Ściślej,

  1. dla każdej pary $g, h\in G$ i każdego otoczenia $W$ elementu $gh$ istnieją otoczenia $U$ $-$ elementu $g$ oraz $V$ $-$ elementu $h$, że $UV=\{uv\colon u \in U, v\in V\}\subseteq W$;
  2. dla każdego $g\in G$ i każdego otoczenia $V$ elementu $g^{-1}$ istnieje otoczenie $U$ elementu $g$, że $U^{-1}=\{u^{-1}\colon u \in U\}\subseteq V$.

Ćwiczenie 1s.

Jeśli topologia grupy topologicznej zadana jest przez metrykę $d$, to warunki ciągłości działań można wyrazić w języku ciągów:

  • dla każdej pary $g, h \in G$ jeśli $(g_n)$ zbiega do $g$ i $(h_n)$ zbiega do $h$, to $(g_nh_n)$ zbiega do $gh$, a także
    $g_n^{-1}$ zbiega do $g^{-1}$.$\blacklozenge$

Przypomnijmy, że $(g_n)$ zbiega do $g$ oznacza, że $\lim_{n\to \infty}d(g_n,g)=0$.

Przykład 1s.

W przestrzeni $\mathbb R^n$ mamy określony standardowy iloczyn skalarny $\langle \boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle =\sum_i x_iy_i$. Ten z kolei określa normę (długość) wektora $|\boldsymbol x|=\sqrt{\langle \boldsymbol x, \boldsymbol x \rangle}= \sqrt{\sum_i x_i^2}$, a norma określa odległość euklidesową: $d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|$ . Przypuśćmy, że $\boldsymbol x_m\to \boldsymbol x$ i $\boldsymbol y_m\to \boldsymbol y$. Wtedy $$ |(\boldsymbol x_m+\boldsymbol y_m)-(\boldsymbol x+\boldsymbol y)|=|(\boldsymbol x_m-\boldsymbol x)+(\boldsymbol y_m-\boldsymbol y)|\le |\boldsymbol x_m-\boldsymbol x|+|\boldsymbol y_m-\boldsymbol y| \stackrel{\longrightarrow}{\tiny{m\to \infty}} 0, $$ co dowodzi ciagłości dodawania. Jeśli idzie o ciągłość brania elementu przeciwnego, to mamy $$ |(-\boldsymbol x_m)-(-\boldsymbol x)|=|\boldsymbol x_m-\boldsymbol x|\stackrel{\longrightarrow}{\tiny{m\to \infty}} 0. \qquad\blacklozenge $$

Wykazaliśmy więc, że $\mathbb R^n$ jest grupą topologiczną z dodawaniem jako działaniem. Topologia $\mathbb R^n$ jest lokalnie zwarta, a dodawanie jest przemienne (abelowe). Przestrzeń $\mathbb R^n$ jest więc reprezentatem ważnej klasy grup lokalnie zwartych abelowych.

Dwie grupy topologiczne $G$ i $H$ nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieje izomorfizm grup $f\colon G \to H$, który jest zarazem homeomorfizmem przestrzeni topologicznych.

Przykład 2s.

Rozpatrzmy dwie grupy: $(\mathbb R, +)$ oraz $((0,+\infty), \cdot)$. O pierwszej już wiemy, że jest grupą topologiczną lokalnie zwartą. O drugiej równie łatwo to sprawdzić. (Topologię na niej zadajemy przez zwykłą metrykę). Z punktu widzenia algebry i topologii obie te grupy nie są istotnie różne! Odwzorowanie wykładnicze $\exp \colon \mathbb R\to (0,+\infty)$ jest ciągłą bijekcją, a odwrotne do niego odwzorowanie $\log\colon (0,+\infty)\to \mathbb R$ też jest ciągłe. Ponadto, $\exp(t+s)=\exp(t)\exp(s)$. W takim razie $\exp$ jest izomorfizmem grup. Podobnie $\log$. Właśnie izomorfizm $\log$ został wykorzystany przez Szkota Johna Napiera do opracowania metody szybkiego mnożenia. Ten sam izomorfizm wykorzystany został do skonstruowania suwaka logarytmicznego, przyrządu do szybkiego mnożenia wykorzystywanego powszechnie przez inżynierów przed powstaniem kalkulatorów elektronicznych.

Przykład 3s.

Rozpatrzmy zbiór $[0,1)$ z dodawaniem modulo 1. To znaczy, $$ x\oplus y =\left\{\begin{array}{rr} x+y, & \text{jeśli $x+y<1$,}\\ x+y-1, & \text{jeśli $x+y>1$.} \end{array} \right. $$

Topologię $\mathscr T$ w $[0,1)$ określmy nie jako topologię pochodzącą od metryki, ale trochę inaczej:

$$ U\in \mathscr T \Longleftrightarrow \text{istnieje zbiór otwarty $V$ w $\mathbb R$, że $0\not \in V$ i $U=V\cap[0,1)$ lub istnieje zbiór otwarty $V$ w $\mathbb R$, że $\{0, 1\}\subset V$ i $U=V\cap[0,1)$.} $$

(porównaj: topologia relatywna). Jest jasne, że w tak określonej topologii liczby bliskie $0$ bądź $1$ są sobie bliskie. Inaczej, $[0,1)$ z taką topologią jest homeomorficzny z okręgiem $\mathbb S^1=\{ z\in \mathbb C\colon |z|=1$. Odwzorowaniem ustalającym taki homeomorfizm jest np.

$$ \exp(2\pi\operatorname{i}t)=\cos(2\pi t) + \operatorname{i}\sin(2\pi t) $$

Ponadto odwzorowanie to jest izomorfizmem grup

$$ \exp(2\pi \operatorname{i}(t\oplus s))= \exp(2\pi\operatorname{i}(t+s))=\exp(2\pi\operatorname{i}t)\exp(2\pi\operatorname{i}s). $$

Określoną przez nas grupę oznaczamy $\mathbb T$ i nazywamy jednowymiarowym torusem. Ze względu na izomorfizm także $\mathbb S^1$ z mnożeniem bywa nazywana jednowymiarowym torusem.

Przykład 2s.

Rozpatrzmy zbiór $\textsf{M}_{n\times n}(\mathbb R)$ wszystkich rzeczywistych macierzy $n\times n$. Zbiór ten możemy traktować jako tożsamy z $\mathbb R^{n^2}$. W tym celu wystarczy kolejne kolumny zapisywać w formie jednej kolumny, albo wiersza tak jak w przypadku macierzy $2\times 2$: $$ \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right]\sim (a,c,b,d). $$

W takim razie na macierzach możemy określić standardowy iloczyn skalarny i normę macierzy:

$$ \langle A, B \rangle =\sum_i\sum_j a_{ij}b_{ij}, \qquad |A|=\sqrt{\langle A, A\rangle}=\sqrt{\sum_i\sum_j a_{ij}^2}. $$

Niech $C=[c_{ij}]$ oznacza iloczyn macierzy $A$ i $B$. Wtedy na podstawie nierówności Schwarza mamy $$ c_{ij}^2= \left(\sum_k a_{ik}b_{kj}\right)^2\le \left(\sum_k a_{ik}^2\right)\left(\sum_k b_{kj}^2\right). $$ Stąd $$ |C|^2=\sum_i\sum_j c_{ij}^2\le \left(\sum_i\sum_k a_{ik}^2\right)\left(\sum_j\sum_k b_{kj}^2\right)=|A|^2|B|^2 $$

W rezultacie po spierwiastkowaniu otrzymamy wzór $$ |AB|\le |A||B|. \tag{mult} $$

Stąd łatwo wykazać, że mnożenie macierzy jest operacją ciągłą. W tym celu niech ciąg $(A_m)$ będzie zbieżny do $A$ i niech $(B_m)$ będzie zbieżny do $B$. Na podstawie nierówności trójkąta $$ |A_m|\le |A_m -A| +|A| $$ Ponieważ $\lim_{m\to \infty} |A_m-A|=0$, więc ciąg $(|A_m-A|)$ jest ograniczony. W takim razie ciąg $(|A_m|)$ jest ograniczony przez pewna stałą $M$. I dalej na podstawie (mult) $$ |A_mB_m-AB|\le |A_mB_m-A_mB+ A_mB-AB|\le |A_mB_m-A_mB|+ |A_mB-AB|\le |A_m||B_m-B| +|A_m-A||B|. $$

Pierwszy składnik prawej strony szacuje się przez $M|B_m-B|$, więc jest zbieżny do $0$, drugi także. Co dowodzi, że ciąg $(A_mB_m)$ zbiega do $AB$.

Oznaczmy przez $GL_n(\mathbb R)$ podzbiór zbioru $\textsf{M}_{n\times n}(\mathbb R)$ złożony ze wszystkich macierzy odwracalnych. Wykażemy, że $GL_n(\mathbb R)$ jest grupą topologiczną lokalnie zwartą. Zauważmy najpierw, że $GL_n(\mathbb R)$ jest podzbiorem otwartym w zbiorze wszystkich macierzy. Można to stwierdzić na przykład tak. Rozpatrzmy funkcję $\det\colon \textsf{M}_{n\times n}(\mathbb R)\to \mathbb R$. Jest ona ciągła, bo $\det(A)$ jest wyrażeniem wielomianowym od współczynników $a_{ij}$. Jak pamiętamy, macierz nie jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy $\det(A)=0$. W takim razie $GL_n(\mathbb R)=\det^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})$. Ponieważ zbiór $\mathbb R\setminus\{0\}$ jest otwarty (w $\mathbb R$), więc i $GL_n(\mathbb R)$ jest otwarty jako przeciwobraz zbioru otwartego w odwzorowaniu ciągłym. Na podstawie ćwiczenia 1pl wnosimy, że $GL_n(\mathbb R$ jest przestrzenia lokalnie zwartą. Ponieważ mnożenie macierzy jest ciągłe w zbiorze wszystkich macierzy, więc tym bardziej jest ciągłe na podzbiorze $GL_n(\mathbb R)$. Pozostaje wykazać, że ciągłe jest branie elementu odwrotnego.

Zacznijmy od wykazania lematu:

Lemat

Jeśli $(C_m)$ jest ciągiem elementów $GL_n(\mathbb R)$ zbieżnym do $I$, to $C_m^{-1}\stackrel{\longrightarrow}{\tiny{ m\to\infty}} I$.

Dowód. Skoro ciąg $(C_m)$ jest zbieżny do $I$, istnieje taki wskaźnik $m_0$, że dla $m>m_0$ mamy $|I-C_m|<\frac 1 2$. Rozpatrzmy szereg $\sum_{k=0}^\infty (I-C_m)^k$. Możemy zapytywać o jego zbieżność. Zauważmy, że

$$ \sum_{k=0}^\infty |(I-C_m)^k|\le \sum_{k=0}^\infty |I-C_m|^k\le \sum_{k=0}^{m_0} |I-C_m|^k +\sum_{k>m_0} \frac 1 {2^k}<\infty $$

W takim razie szereg ten jest bezwzględnie zbieżny, więc zbieżny. Co więcej,

$$ C_m \sum_{k=0}^\infty (I-C_m)^k= (I-(I-C_m))\sum_{k=0}^\infty (I-C_m)^k= \sum_{k=0}^\infty (I-C_m)^k-\sum_{k=1}^\infty (I-C_m)^k=(I-C_m)^0=I, $$

więc zachodzi wzór $C_m^{-1}=\sum_{k=0}^\infty (I-C_m)^k$. Ustalmy dowolny $\varepsilon >0$ i dobierzmy liczbę naturalną $s>1$, by $\varepsilon> \frac 1{2^{s-1}}$. Wtedy dla $m>m_0$

$$ |I-C_m^{-1}|\le |\sum_{k=1}^\infty (I-C_m)^k|\le \sum_{k=1}^s|I-C_m|^k+ \sum_{k>s}^\infty |I-C_m|^k $$

Ponieważ wyrazy drugiego skladnika szacują się przez $\frac 1 {2^k}$ oraz $|I-C_m|\stackrel{\longrightarrow}{\tiny{ m\to\infty}} 0$, więc dla wszystkich dostatecznie wielkich wskaźników $m$ otrzymamy

$$ |I-C_m^{-1}|\le \frac 1 {2^s}+ \sum_{k=1}^s|I-C_m|^k <\frac {2}{2^s}< \varepsilon. \qquad \square $$

Niech teraz ciąg $(B_m)$ będzie zbieżny do $B$ w $GL_n(\mathbb R)$. Przyjmijmy $C_m= B_mB^{-1}$. Zauważmy, że

$$ |C_m-I|=|B_mB^{-1}-BB^{-1}|\le |B_m-B||B^{-1}| \stackrel{\longrightarrow}{\tiny{ m\to\infty}} 0 $$

W takim razie, na podstawie lematu, $C_m^{-1}=BB_m^{-1}\stackrel{\longrightarrow}{\tiny{ m\to\infty}} I$. Teraz

$$ |B_m^{-1}-B^{-1}|= |B^{-1}C_m^{-1}-B^{-1}|\le |B^{-1}||C_m^{-1}-I|\stackrel{\longrightarrow}{\tiny{ m\to\infty}} 0. $$

Co ostatecznie dowodzi ciągłości odwracania.

Grupa $GL_n(\mathbb R)$ zawiera ważną podgrupę $O_n$ nazywaną grupą ortogonalną złożoną z tych wszystkich macierzy $U$, że $U^{\mathsf T}U=I$. Oczywiście $|U|=\sqrt{n}$. Fakt, że $O_n$ jest grupą jest nam znany z kursu algebry liniowej. Ponieważ jest to podzbiór domknięty i ograniczony przestrzeni macierzy ${\mathsf M}_{n\times n}(\mathbb R)$ (którą możemy utożsamić z $\mathbb R^{n^2}$), więc jest zwarty. Grupa $O_n$ jest w rezultacie podgrupą zwartą grupy $GL_n{\mathbb R}$. Obie te grupy należą do ważnej klasy grup Liego. Grupy Liego są najczęściej definiowane jako struktury przypominające lokalnie $\mathbb R^d$. Dodatkowo zakłada się, że ich działania są nie tylko ciągłe, ale różniczkowalne. Grupy Liego są więc nie tylko przestrzeniami topologicznymi, ale rozmaitościami różniczkowymi. David Hilbert na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu w 1900 roku zgłosił listę dwudziestu trzech problemów do rozwiązania w wieku XX. Piąty problem dotyczył scharakteryzowania grup Liego w języku toplogii. Taką charakteryzację udało się podać kilku matematykom.

Topologiczna grupa lokalnie zwarta $G$ jest grupą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy ma takie otoczenie zera, które nie zawiera żadnej nietrywialnej podgrupy.

Mówimy też, że klasa grup Liego tożsama jest z klasą grup lokalnie zwartych bez małych podgrup.

Przykład 3s.

Przestrzeń topologiczną $X$, której topologia $\mathscr T$ składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru $X$, tzn. $\mathscr T=2^X$ nazywamy dyskretną. Taka przestrzeń jest Hausdorffa (bo zbiory jednopunktowe są otwarte). jest także przestrzenią lokalnie wypukłą (bo zbiory jednopunktowe są zwarte).

Przestrzenie dyskretne są metryzowalne, to znaczy, topologię dyskretną można zadać za pomocą metryki. Wystarczy określić metrykę wzorem:

$$ d(x,y)= \begin{cases} 0 & \text{jeśli $x=y$}\\ 1 & \text{jeśli $x\neq y$.} \end{cases} $$

Wtedy każdy zbiór jednopunktowy $\{x\}$ jest równy otwartej kuli jednostkowej o środku $x$. $\blacklozenge$

Niech $G$ $-$ grupa lokalnie zwarta. Powiemy, że grupa ta jest zwarcie generowalna, jeśli zawiera podzbiór zwarty $K$, że każdy element $x\in G$ ma przedstawienie postaci $x=k_1^{\varepsilon_1} k_2^{\varepsilon_2}\cdots k_n^{\varepsilon_n}$, gdzie $k_i\in K$ oraz $\varepsilon_i\in \{-1,1\}$.

Twierdzenie strukturalne dla grup lokalnie zwartych przemiennych.

Przypuśćmy, że lokalnie zwarta grupa przemienna $G$ jest zwarcie generowalna. Wtedy $G$ jest izomorficzna z grupą $H=\mathbb {R}^d\times \mathbb Z^n\times F$, gdzie $\mathbb R^d$ rozpatrujemy ze zwykłą topologią zadaną przez metrykę euklidesową, $\mathbb Z^n$ rozpatrujemy z topologią dyskretną, zaś $F$ jest pewną przemienną grupą zwartą.

Komentarz.

Topologia grupy $H$, to topologia produktowa. Działanie $-$ oznaczmy je $+$ $-$ jest także określone produktowo: $$ (r,z,f)+(r',z',f')=(r+r', f+f', z+z'). $$

Dla grup lokalnie zwartych zachodzi ważne twierdzenie o dualności Pontriagina, van Kampena. Więcej na ten temat można znaleźć w pierwszym tomie książki: Edwin Hewitt, Keneth Ross, Abstract Harmonic Analysis, Springer 1963.

In [ ]: